Задание 1292

Дано: равносторонние треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) вписаны в окружность с центром \(O\), обход \(A \to B \to C\) и \(A_1 \to B_1 \to C_1\) по окружности — в одном направлении; треугольники не совпадают (\(A \ne A_1\)). Доказать: прямые \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) проходят через \(O\) или образуют равносторонний треугольник.

1. Вершины правильного треугольника делят окружность на дуги по \(120^\circ\). Пусть \(R\) — поворот вокруг \(O\) на \(120^\circ\) в направлении обхода. Тогда \(R\) переводит \(A \to B \to C \to A\) и \(A_1 \to B_1 \to C_1 \to A_1\) (здесь и важно, что направления обхода совпадают).

2. Значит, \(R\) переводит отрезок \(AA_1\) в \(BB_1\), а \(BB_1\) — в \(CC_1\), \(CC_1\) — в \(AA_1\). В частности, хорды \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) равны и находятся на одном расстоянии \(d\) от центра \(O\).

3. Случай \(d = 0\). Тогда \(AA_1\) — диаметр, и так же \(BB_1\), \(CC_1\) — диаметры: все три прямые проходят через \(O\).

4. Случай \(d > 0\). Прямая и её образ при повороте на \(120^\circ\) образуют угол \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\), поэтому каждые две из прямых \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются под углом \(60^\circ\). Пусть \(P\) — точка пересечения \(AA_1\) и \(BB_1\), \(Q\) — точка пересечения \(BB_1\) и \(CC_1\), \(T\) — точка пересечения \(CC_1\) и \(AA_1\). Поворот \(R\) переводит пару прямых \((AA_1, BB_1)\) в пару \((BB_1, CC_1)\), значит, \(P \to Q\), и так же \(Q \to T\), \(T \to P\).

5. Точки \(P\), \(Q\), \(T\) различны: если бы, например, \(P = Q\), то \(P\) была бы неподвижной точкой поворота, то есть \(P = O\), но прямая \(AA_1\) не проходит через \(O\) (\(d > 0\)). Поворот — движение, поэтому \(PQ = QT = TP\) (каждый отрезок переходит в следующий). Значит, прямые образуют равносторонний треугольник \(PQT\).