Задача 1
Даны две пересекающиеся прямые и точка O, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую через O так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой O пополам.
Решение
Дано: пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\), точка \(O\) не лежит на них. Построить: прямую через \(O\), пересекающую \(a\) и \(b\) в точках \(X\) и \(Y\) так, что \(OX = OY\).
Анализ. Если \(O\) — середина \(XY\), то \(Y\) симметрична \(X\) относительно \(O\). Значит, \(Y\) лежит на прямой \(a'\), симметричной \(a\) относительно \(O\).
Построение.
-
Отметим на \(a\) две точки и построим симметричные им относительно \(O\) (откладывая на продолжении отрезка через \(O\) равный отрезок). Через полученные точки проведём прямую \(a'\); она параллельна \(a\).
-
Найдём точку \(Y\) пересечения прямых \(a'\) и \(b\).
-
Проведём прямую \(OY\); она пересечёт \(a\) в точке \(X\). Прямая \(XY\) — искомая.
Доказательство. \(Y \in a'\), поэтому симметричная ей относительно \(O\) точка лежит на \(a\) и на прямой \(OY\), то есть это \(X\). Значит, \(OX = OY\).
Число решений. \(a' \parallel a\), а \(b\) пересекает \(a\), поэтому \(b\) пересекает и \(a'\) ровно в одной точке (\(a' \ne a\), так как \(O \notin a\)). Задача имеет единственное решение.
Ответ
Концы искомого отрезка центрально-симметричны относительно O, поэтому второй конец лежит на образе первой прямой при этой симметрии.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».