Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XIV, задание 1294

Условие (кратко)

Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её основаниям и диагоналям.

Решение

Дано: отрезки $$a$$ , $$b$$ (основания, $a \ne b$ ) и $$d_1$$ , $$d_2$$ (диагонали). Построить: трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$AD = a$$ , $$BC = b$$ и диагоналями $$AC = d_1$$ , $$BD = d_2$$ .

Анализ. Пусть трапеция построена. Перенесём диагональ $$BD$$ на вектор $\overrightarrow{BC}$ : $$B$$ перейдёт в $$C$$ , $$D$$ — в точку $$D_1$$ на продолжении $$AD$$ за точку $$D$$ (так как $\overrightarrow{BC}$ сонаправлен с $\overrightarrow{AD}$ ), $$DD_1 = BC = b$$ . Тогда $$CD_1 = BD = d_2$$ и $$AD_1 = a + b$$ . В треугольнике $$ACD_1$$ известны все три стороны: $$a + b$$ , $$d_1$$ , $$d_2$$ .

Построение.

Строим треугольник $$ACD_1$$ по трём сторонам: $$AD_1 = a + b$$ , $$AC = d_1$$ , $$CD_1 = d_2$$ .
На отрезке $$AD_1$$ откладываем $$AD = a$$ .
Через $$C$$ проводим прямую, параллельную $$AD_1$$ , и откладываем на ней от $$C$$ в сторону, противоположную направлению $\overrightarrow{AD}$ , отрезок $$CB = b$$ (то есть $$B$$ — образ $$C$$ при переносе на вектор $\overrightarrow{D_1D}$ ).
$$ABCD$$ — искомая трапеция.

Доказательство. $BC \parallel AD$ , $$BC = b$$ , $$AD = a$$ , $$AC = d_1$$ . Перенос на вектор $\overrightarrow{DD_1}$ ( $= \overrightarrow{BC}$ ) переводит $$B$$ в $$C$$ и $$D$$ в $$D_1$$ , поэтому $$BD = CD_1 = d_2$$ .

Исследование. Задача имеет решение, если существует треугольник со сторонами $$a + b$$ , $$d_1$$ , $$d_2$$ , то есть $$a + b < d_1 + d_2$$ , $$d_1 < a + b + d_2$$ , $$d_2 < a + b + d_1$$ .

Ответ

Переносом диагонали BD на вектор BC сводим задачу к построению треугольника ACD₁ по сторонам a + b, d₁, d₂; затем на AD₁ откладываем AD = a и через C проводим BC ∥ AD, BC = b

Почему так

Параллельный перенос диагонали на вектор меньшего основания собирает обе диагонали и сумму оснований в один треугольник.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Задание 1294

Задача 1