Задача 1
Даны параллельные прямые b и c и точка A, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы вершины B и C лежали соответственно на прямых b и c. Сколько решений имеет задача?
Решение
- \(b \parallel c\)
- точка \(A\) не лежит на \(b\) и \(c\). Построить: равносторонний \(\triangle ABC\)
- \(B \in b\)
- \(C \in c\)
- число решений
Анализ. Пусть треугольник построен. При повороте вокруг \(A\) на \(60^\circ\) (в подходящую сторону) вершина \(B\) переходит в \(C\), так как \(AB = AC\) и \(\angle BAC = 60^\circ\). Значит, \(C\) лежит на прямой \(b_1\) — образе прямой \(b\) при этом повороте — и на прямой \(c\).
Построение.
-
Поворачиваем прямую \(b\) вокруг \(A\) на \(60^\circ\) по часовой стрелке: поворачиваем две её точки (откладываем от луча \(AX\) угол \(60^\circ\) и на его стороне отрезок, равный \(AX\)) и проводим через образы прямую \(b_1\) (как в задаче 1268).
-
\(C\) — точка пересечения \(b_1\) и \(c\).
-
Окружность с центром \(A\) радиуса \(AC\) пересекает \(b\); нужная точка \(B\) — та, что переходит в \(C\) при выбранном повороте (то есть \(\angle BAC = 60^\circ\)).
Доказательство. \(B\) переходит в \(C\) при повороте на \(60^\circ\) вокруг \(A\), поэтому \(AB = AC\) и \(\angle BAC = 60^\circ\) — треугольник \(ABC\) равнобедренный с углом \(60^\circ\) при вершине, значит, равносторонний.
Число решений. Прямая \(b_1\) образует с \(b\), а значит, и с \(c\) угол \(60^\circ\), поэтому пересекает \(c\) ровно в одной точке. Поворот на \(60^\circ\) против часовой стрелки даёт ещё один треугольник \(AB'C'\). Эти треугольники различны: у одного обход \(A \to B \to C\) идёт против часовой стрелки, у другого — по часовой. Других решений нет — у любого решения \(B\) переходит в \(C\) при одном из двух поворотов. Задача имеет два решения.
Ответ
При повороте вокруг A на 60° вершина B равностороннего треугольника переходит в C, поэтому C лежит на образе прямой b.
Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».