Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1342

Условие (кратко)

При данном движении каждая из точек A и B отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой AB отображается на себя.

Решение

Дано: движение, при котором $A \to A$ , $B \to B$ ; $$M$$ — любая точка прямой $$AB$$ , $$M'$$ — её образ. Доказать: $$M'$$ совпадает с $$M$$ .

Движение сохраняет расстояния, поэтому $$AM' = AM$$ и $$BM' = BM$$ .
Точки $$A$$ , $$B$$ , $$M$$ лежат на одной прямой, значит, одно из расстояний $$AB$$ , $$AM$$ , $$BM$$ равно сумме двух других (например, $$AM + MB = AB$$ , если $$M$$ лежит между $$A$$ и $$B$$ ).
Те же равенства верны и для $$A$$ , $$B$$ , $$M'$$ : например, $$AM' + M'B = AB$$ . Если бы $$M'$$ не лежала на прямой $$AB$$ , то по неравенству треугольника было бы $$AM' + M'B > AB$$ . Значит, $$M'$$ лежит на прямой $$AB$$ , причём в том же положении относительно $$A$$ и $$B$$ , что и $$M$$ (между ними или за одной и той же точкой).
На прямой $$AB$$ существует только одна точка, удалённая от $$A$$ на расстояние $$AM$$ и лежащая с той же стороны от $$A$$ , что и $$M$$ . Поэтому $$M'$$ совпадает с $$M$$ .

Ответ

Утверждение доказано: каждая точка прямой AB переходит в себя.

Почему так

Движение сохраняет расстояния, а точка прямой AB однозначно задаётся расстояниями до A и B.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Задание 1342