Какое преобразование плоскости называют движением?

Преобразование, сохраняющее расстояния между точками

Любое преобразование, при котором фигура меняет положение

Преобразование, у которого есть неподвижная точка

Преобразование, при котором прямая переходит в прямую

Что верно для любого движения?

Отрезок переходит в равный ему отрезок

Угол переходит в равный ему угол

Каждая точка остаётся на месте

Сколько неподвижных точек у центральной симметрии?

Одна — центр симметрии

Бесконечно много, они лежат на прямой

Понятие движения — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Коротко о главном

Преобразование плоскости — правило, по которому каждой точке плоскости сопоставляется одна точка, причём каждая точка оказывается сопоставленной ровно одной точке. Движение — преобразование, которое сохраняет расстояния: если $M \to M_1$ и $N \to N_1$ , то

\[M_1N_1 = MN.\]

Осевая и центральная симметрии — движения. При движении отрезок переходит в отрезок, а любая фигура — в равную ей фигуру.

Подробное объяснение

Положите рисунок на стол, сверху — прозрачную кальку, обведите его и сдвиньте или переверните кальку. Каждая точка рисунка «уехала» в новое место, но все размеры остались прежними. Геометрия описывает это словом «движение».

Преобразование плоскости

Представим правило, которое каждой точке $$M$$ плоскости ставит в соответствие одну точку $$M_1$$ той же плоскости, причём любая точка плоскости — образ какой-то одной точки. Такое правило называют взаимно однозначным отображением плоскости на себя, или преобразованием плоскости.

Знакомые примеры:

осевая симметрия с осью $$a$$ : точка $$M$$ переходит в точку $$M_1$$ , симметричную ей относительно $$a$$ (отрезок $$MM_1$$ перпендикулярен $$a$$ и делится ею пополам);
центральная симметрия с центром $$O$$ : точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$ , для которой $$O$$ — середина $$AA_1$$ .

Точку, которая переходит сама в себя, называют неподвижной. У осевой симметрии неподвижны все точки оси, у центральной — только центр.

Если каждая точка фигуры $$F$$ переходит в точку фигуры $$F_1$$ и так получается вся $$F_1$$ , говорят, что фигура $$F$$ переходит в $$F_1$$ .

Движение

Преобразование сохраняет расстояния, если для любых двух точек $$M$$ , $$N$$ и их образов $$M_1$$ , $$N_1$$ верно $$M_1N_1 = MN$$ . Такое преобразование называют движением (или перемещением).

Осевая и центральная симметрии — движения. Для центральной симметрии это видно из равенства треугольников $$OMN$$ и $$OM_1N_1$$ : $$OM = OM_1$$ , $$ON = ON_1$$ , а углы при $$O$$ вертикальные.

Вертикальная прямая a. Слева треугольник ABC, справа симметричный ему относительно a треугольник A1B1C1; пунктиры AA1, BB1, CC1 перпендикулярны оси. — Осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому треугольник ABC переходит в равный ему треугольник A1B1C1.

Что сохраняется при движении

Главная теорема: при движении отрезок переходит в отрезок. Идея доказательства: точка $$P$$ лежит на отрезке $$MN$$ тогда и только тогда, когда $$MP + PN = MN$$ . Движение сохраняет все три длины, значит, и равенство сохраняется — образ $$P_1$$ лежит на $$M_1N_1$$ .

Отсюда следует цепочка:

треугольник переходит в треугольник с теми же сторонами, то есть в равный;
прямая — в прямую, луч — в луч, угол — в равный угол;
параллельные прямые — в параллельные, окружность — в окружность того же радиуса.

Движение и наложение

Равенство фигур мы определяли наложением. Оказывается, наложение и движение — одно и то же: любое наложение сохраняет расстояния, а любое движение является наложением. Поэтому при движении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Зеркально перевёрнутый треугольник тоже равен исходному.

Как решать задачи

Назовите движение (симметрию) и выпишите, какие точки в какие переходят.
Запишите равенства расстояний: $$A_1B_1 = AB$$ и т. д.
Чтобы доказать, что точка лежит на отрезке, проверьте равенство вида $$MP + PN = MN$$ .
Чтобы найти образ прямой или многоугольника, постройте образы нескольких точек: прямой — двух, многоугольника — вершин.
Для равенства фигур достаточно указать движение, которое переводит одну в другую.

Разобранные примеры

База

Неподвижные точки и расстояние до образа

Условие

Точка $$A$$ удалена от точки $$O$$ на 3,5 см. При центральной симметрии с центром $$O$$ она переходит в точку $$A_1$$ . Найдите $$AA_1$$ . Есть ли у этой симметрии неподвижные точки, кроме $$O$$ ?

Дано

центральная симметрия с центром $$O$$
$$OA = 3{,}5$$ см

Найти

$$AA_1$$

Решение

Центр $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$ , поэтому $AA_1 = 2 \cdot OA = 7$ см. Любая точка $X \ne O$ переходит в точку по другую сторону от $$O$$ , то есть в другую точку. Неподвижная точка одна — центр.

Ответ: 7 см; других неподвижных точек нет.

Средний

Образ треугольника

Условие

При движении треугольник $$KLM$$ перешёл в треугольник $$K_1L_1M_1$$ . Известно: $$KL = 6$$ см, $$LM = 8$$ см, $$KM = 9$$ см, $\angle K = 60^\circ$ , $\angle L = 75^\circ$ . Найдите периметр треугольника $$K_1L_1M_1$$ и угол $$M_1$$ .

Дано

$$KL = 6$$
$$LM = 8$$
$$KM = 9$$ (см)
$\angle K = 60^\circ$
$\angle L = 75^\circ$

Найти

$P_{K_1L_1M_1}$
$\angle M_1$

Решение

При движении треугольник переходит в равный треугольник, вершины соответствуют: $K \to K_1$ , $L \to L_1$ , $M \to M_1$ .

Периметр: $$6 + 8 + 9 = 23$$ см. Угол: $\angle M_1 = \angle M = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$ .

Ответ: 23 см; ∠M₁ = 45°

Сложный

Середина переходит в середину

Условие

Докажите, что при движении середина отрезка переходит в середину отрезка-образа.

Решение

Дано: $$O$$ — середина $$AB$$ , при движении $A \to A_1$ , $B \to B_1$ , $O \to O_1$ . Доказать: $$O_1$$ — середина $$A_1B_1$$ .

Отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$A_1B_1$$ , поэтому $$O_1$$ лежит на $$A_1B_1$$ . Расстояния сохраняются: $$A_1O_1 = AO$$ , $$O_1B_1 = OB$$ . Так как $$AO = OB$$ , то $$A_1O_1 = O_1B_1$$ , то есть $$O_1$$ — середина $$A_1B_1$$ .

Ответ: Утверждение доказано: середина отрезка переходит в середину его образа.

Типичные ошибки

Считают движением любое преобразование, при котором фигура «похожа» на себя

Почему неверно

Если растянуть всю плоскость от точки $$O$$ в 2 раза, треугольник перейдёт в подобный, но не равный: все расстояния удвоятся. Это преобразование плоскости, но не движение.

Как правильно

Проверяйте определение: для любых двух точек $$M_1N_1 = MN$$ . Если хоть одно расстояние изменилось — это не движение.

Путают неподвижные точки симметрий

Почему неверно

Пишут, что у центральной симметрии неподвижна целая прямая, а у осевой — только одна точка. На самом деле наоборот.

Как правильно

У осевой симметрии неподвижна каждая точка оси (она симметрична сама себе), у центральной — только центр.

Думают, что зеркально перевёрнутая фигура не равна исходной

Почему неверно

Треугольник, отражённый относительно прямой, нельзя «сдвинуть» в исходный, не отрывая от плоскости, и кажется, что фигуры разные. Но осевая симметрия — движение, а при движении любая фигура переходит в равную.

Как правильно

Фигуры равны, если одну можно перевести в другую каким-либо движением, в том числе осевой симметрией: лист кальки разрешено переворачивать.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

При некотором движении отрезок $$AB$$ длиной 7 см перешёл в отрезок $$A_1B_1$$ . Найдите длину $$A_1B_1$$ .

Подсказка

Движение сохраняет расстояние между любыми двумя точками.

Решение

Точки $$A$$ и $$B$$ перешли в $$A_1$$ и $$B_1$$ , а движение сохраняет расстояния, поэтому $$A_1B_1 = AB = 7$$ см.

Ответ

7 см

База Задача 2

Точка $$M$$ находится на расстоянии 4 см от прямой $$a$$ . При осевой симметрии с осью $$a$$ она переходит в точку $$M_1$$ . Найдите $$MM_1$$ .

Подсказка

Ось симметрии перпендикулярна отрезку $$MM_1$$ и делит его пополам.

Решение

Отрезок $$MM_1$$ перпендикулярен оси $$a$$ , и его середина $$H$$ лежит на $$a$$ . Значит, $$MH = 4$$ см — это расстояние от $$M$$ до оси, и $MM_1 = 2 \cdot MH = 8$ см.

Ответ

8 см

Средний Задача 3

При движении треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB = 3$$ см, $$BC = 4$$ см, $$AC = 5$$ см перешёл в треугольник $$A_1B_1C_1$$ . Найдите площадь треугольника $$A_1B_1C_1$$ .

Подсказка

При движении треугольник переходит в равный ему треугольник.

Решение

Треугольник $$A_1B_1C_1$$ равен треугольнику $$ABC$$ , поэтому у него те же стороны 3, 4 и 5 см.

Так как $$3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$$ , треугольник прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора) с катетами 3 и 4 см. Его площадь $S = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$ см².

Ответ

6 см²

Средний Задача 4

Квадрат $$ABCD$$ со стороной 6 см отображается центральной симметрией с центром в вершине $$A$$ . Вершина $$C$$ переходит в точку $$C_1$$ . Найдите $$CC_1$$ .

Подсказка

Центр симметрии $$A$$ — середина отрезка $$CC_1$$ .

Решение

Диагональ квадрата $AC = 6\sqrt{2}$ см.

При центральной симметрии с центром $$A$$ точка $$A$$ — середина $$CC_1$$ , поэтому $CC_1 = 2AC = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97$ см.

Ответ

12√2 см ≈ 16,97 см

Сложный Задача 5

Докажите, что при движении медиана треугольника переходит в медиану треугольника, на который отображается данный.

Подсказка

Сначала докажите, что середина отрезка переходит в середину его образа.

Решение

Пусть $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$ , $$M$$ — середина $$BC$$ , а при движении $$A, B, C, M$$ переходят в $$A_1, B_1, C_1, M_1$$ .

Отрезок $$BC$$ переходит в отрезок $$B_1C_1$$ , поэтому $$M_1$$ лежит на $$B_1C_1$$ . Расстояния сохраняются: $$B_1M_1 = BM = MC = M_1C_1$$ . Значит, $$M_1$$ — середина $$B_1C_1$$ .

Отрезок $$AM$$ переходит в отрезок $$A_1M_1$$ , который соединяет вершину $$A_1$$ с серединой противолежащей стороны, то есть является медианой треугольника $$A_1B_1C_1$$ .

Ответ

Медиана переходит в медиану

Сложный Задача 6

При движении точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ перешли в точки $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ . Известно, что $$AB = 5$$ , $$BC = 3$$ , $$AC = 8$$ . Как расположена точка $$B_1$$ относительно точек $$A_1$$ и $$C_1$$ ? Найдите $$A_1B_1$$ .

Подсказка

Сравните $$AB + BC$$ и $$AC$$ .

Решение

$$AB + BC = 5 + 3 = 8 = AC$$ , значит, точка $$B$$ лежит на отрезке $$AC$$ (иначе по неравенству треугольника было бы $$AB + BC > AC$$ ).

Движение сохраняет расстояния: $$A_1B_1 = 5$$ , $$B_1C_1 = 3$$ , $$A_1C_1 = 8$$ . Снова $$A_1B_1 + B_1C_1 = A_1C_1$$ , поэтому $$B_1$$ лежит на отрезке $$A_1C_1$$ , на расстоянии 5 от $$A_1$$ .

Ответ

B₁ лежит на отрезке A₁C₁, A₁B₁ = 5

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте треугольник, обведите его на кальке и переложите кальку на другое место — можно перевернуть. Измерьте линейкой стороны «до» и «после»: длины одинаковые. Это и есть движение — расстояния между любыми точками сохраняются. Сложите лист пополам по линии и проколите иголкой точку: прокол на второй половине — образ точки при осевой симметрии.

Вопросы для проверки понимания: 1) Что такое движение? 2) Какие точки остаются на месте при осевой симметрии, а какие при центральной? 3) Почему при движении треугольник переходит в равный треугольник?

На что обратить внимание. Движение определяется через расстояния, а не через «перемещение» в бытовом смысле: осевая симметрия «переворачивает» фигуру, но всё равно является движением. Ребёнок должен уметь доказать, что точка лежит на отрезке, через равенство $$MP + PN = MN$$ .

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 122	1240, 1241
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 123	1242, 1243, 1244, 1245, 1246, 1251, 1252, 1253, 1254, 1255
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 124	1247, 1248, 1249, 1250, 1256, 1257