Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1343

Задача 1

Условие (кратко)

При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Решение

Дано: движение, при котором $A \to A$ , $B \to B$ , $C \to C$ ; $$M$$ — любая точка, $$M'$$ — её образ. Доказать: $$M'$$ совпадает с $$M$$ .

Движение сохраняет расстояния: $$AM' = AM$$ , $$BM' = BM$$ , $$CM' = CM$$ .
Предположим, что $M' \ne M$ . Тогда каждая из точек $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ равноудалена от концов отрезка $$MM'$$ , то есть лежит на серединном перпендикуляре к $$MM'$$ .
Значит, $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ лежат на одной прямой — но это вершины треугольника. Противоречие, поэтому $$M'$$ совпадает с $$M$$ .

Ответ

Утверждение доказано: такое движение оставляет на месте каждую точку плоскости.

Почему так

Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре, а три вершины треугольника на одной прямой не лежат.

Подробнее — в теме «Понятие движения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).