Прямоугольные треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны по двум катетам. Равные треугольники можно совместить наложением, а наложение — это движение. Возьмём движение, при котором \(A \to A_1\), \(B \to B_1\), \(D \to D_1\).
Пусть \(C'\) — образ точки \(C\). Движение сохраняет расстояния: \(B_1C' = BC = AD = A_1D_1 = B_1C_1\), \(D_1C' = DC = AB = A_1B_1 = D_1C_1\), \(A_1C' = AC = BD = B_1D_1 = A_1C_1\) (диагонали прямоугольника равны).
Точки \(C'\) и \(C_1\) одинаково удалены от трёх точек \(A_1\), \(B_1\), \(D_1\), не лежащих на одной прямой. Если бы \(C' \ne C_1\), все три точки лежали бы на серединном перпендикуляре к \(C'C_1\) — противоречие. Значит, \(C' = C_1\).
Движение переводит отрезки в отрезки, поэтому прямоугольник \(ABCD\) переходит в \(A_1B_1C_1D_1\) — они равны.
Треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) прямоугольные (\(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\)) и равны по гипотенузе и катету: \(BD = B_1D_1\), \(AB = A_1B_1\).
Отсюда \(AD = A_1D_1\). Значит, смежные стороны \(AB\), \(AD\) одного прямоугольника равны смежным сторонам \(A_1B_1\), \(A_1D_1\) другого.
По пункту а) прямоугольники равны.
Ответ
Утверждение доказано: прямоугольники равны.
Почему так
По гипотенузе и катету равны прямоугольные треугольники ABD и A₁B₁D₁, откуда равны и вторые смежные стороны — это случай а).
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).