Рис. 414, а, подобные четырёхугольники: у большего стороны 21, 15, 18, 12, угол 60° между 21 и 15; у меньшего — y, z, 8, x, угол 110° между 8 и x. Найдите x, y, z, α, β.
Решение
Дано
четырёхугольники на рисунке 414
а подобны; равные углы отмечены одинаковыми дугами
Найти
\(x\)
\(y\)
\(z\)
\(\alpha\)
\(\beta\)
По дугам находим соответственные вершины. Угол с тройной дугой у большего — между сторонами \(21\) и \(12\), у меньшего — между \(y\) и \(z\). Угол с двойной дугой у большего — между \(12\) и \(18\), у меньшего — между \(z\) и \(8\). Значит, стороне \(12\) соответствует \(z\), стороне \(18\) — сторона \(8\), стороне \(15\) — сторона \(x\), стороне \(21\) — сторона \(y\).
Коэффициент подобия (меньший к большему): \(k = \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9}\).
Угол \(\alpha\) (между \(x\) и \(y\)) соответствует углу между \(15\) и \(21\), то есть \(\alpha = 60^\circ\). Угол \(\beta\) (между \(18\) и \(15\)) соответствует углу между \(8\) и \(x\), то есть \(\beta = 110^\circ\).
Ответ
x = 6 2/3, y = 9 1/3, z = 5 1/3, α = 60°, β = 110°
Почему так
У подобных многоугольников соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны с одним коэффициентом.
Рис. 414, б, подобные четырёхугольники: у большего стороны 27, 18, 21, y, угол 50° между y и 27; у меньшего стороны z, 12, x, 18, угол 70° между 12 и x. Найдите x, y, z, α, β.
Решение
Дано
четырёхугольники на рисунке 414
б подобны; равные углы отмечены двойной дугой
Найти
\(x\)
\(y\)
\(z\)
\(\alpha\)
\(\beta\)
Вершина с двойной дугой у большего — между \(y\) и \(21\), у меньшего — между \(18\) и \(x\). Обходя от неё в одну сторону, получаем соответствие сторон: \(21 \leftrightarrow x\), \(18 \leftrightarrow 12\), \(27 \leftrightarrow z\), \(y \leftrightarrow 18\).
Коэффициент подобия (меньший к большему): \(k = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\).
Угол \(\beta\) (между \(21\) и \(18\)) соответствует углу между \(x\) и \(12\): \(\beta = 70^\circ\). Угол \(\alpha\) (между \(z\) и \(18\)) соответствует углу между \(27\) и \(y\): \(\alpha = 50^\circ\).
Ответ
x = 14, y = 27, z = 18, α = 50°, β = 70°
Почему так
Соответственные стороны подобных многоугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).