Какие две фигуры подобны всегда, при любых размерах?

Два пятиугольника

Многоугольник F_1 подобен многоугольнику F с коэффициентом k. Какие утверждения верны?

Углы F₁ соответственно равны углам F

Каждая сторона F₁ в k раз больше сходственной стороны F

F подобен F₁ с коэффициентом 1/k

Площадь F₁ в k раз больше площади F

Площади двух подобных многоугольников равны 9 см² и 49 см². Как относятся их сходственные стороны?

Это зависит от числа сторон

Подобные многоугольники — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры

Коротко о главном

Многоугольники подобны, если у них одинаковое число углов, углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Отношение сходственных сторон — коэффициент подобия $$k$$ . Периметры подобных многоугольников относятся как $$k$$ , площади — как $$k^2$$ .

\frac{P_1}{P} = k, \qquad \frac{S_1}{S} = k^2

Подробное объяснение

Когда вы растягиваете фотографию на экране за угловую метку, картинка становится больше, но не искажается: лица не вытягиваются, круг остаётся кругом. Все расстояния на ней увеличиваются в одно и то же число раз. Так же работает проектор в кино: кадр на плёнке и изображение на экране отличаются только масштабом. Такие фигуры называют подобными. А если тянуть за боковую метку, картинка сплющится — пропорции нарушатся, и подобия не будет.

Определение

В этой теме под многоугольником понимают выпуклый многоугольник. Многоугольники с одинаковым числом углов (а значит, и сторон) называют одноимёнными.

Пусть у одноимённых многоугольников $A_1A_2\ldots A_n$ и $B_1B_2\ldots B_n$ углы соответственно равны: $\angle B_1 = \angle A_1$ , $\angle B_2 = \angle A_2$ и так далее. Тогда стороны $$B_1B_2$$ и $$A_1A_2$$ , $$B_2B_3$$ и $$A_2A_3$$ , … называют сходственными — это стороны, лежащие между равными углами.

Многоугольник $$F_1$$ подобен одноимённому многоугольнику $$F$$ , если его углы соответственно равны углам $$F$$ , а сходственные стороны пропорциональны. Число

k = \frac{B_1B_2}{A_1A_2} = \frac{B_2B_3}{A_2A_3} = \ldots

называют коэффициентом подобия $$F_1$$ относительно $$F$$ . Записывают $F_1 \sim F$ . Коэффициент всегда положителен, ведь это отношение длин. Если $$F_1$$ подобен $$F$$ с коэффициентом $$k$$ , то и $$F$$ подобен $$F_1$$ — с коэффициентом $\dfrac{1}{k}$ .

Два четырёхугольника ABCD и A1B1C1D1. Углы A и A1 отмечены одной дугой, углы C и C1 — двумя. Стороны AB = 2 и AD = 3, а сходственные им A1B1 = 4 и A1D1 = 6. — Углы соответственно равны, а сходственные стороны большего четырёхугольника вдвое длиннее, поэтому он подобен меньшему с коэффициентом k = 2.

Подобие треугольников из 8 класса — частный случай этого определения.

Равные многоугольники и подобие с k = 1

Равные многоугольники подобны с коэффициентом 1: углы и сходственные стороны у них равны. Верно и обратное (в учебнике это принимается без доказательства): если у одноимённых многоугольников углы соответственно равны и сходственные стороны равны, то многоугольники равны.

Одних углов или одних сторон мало

Для треугольников хватает одного условия: если углы равны, стороны уже пропорциональны, и наоборот. Для многоугольников с большим числом сторон это не так.

Прямоугольник $2 \times 5$ и квадрат: все углы по $90^\circ$ , но стороны не пропорциональны. Не подобны.
Квадрат и ромб с углом $60^\circ$ при одинаковой стороне: стороны пропорциональны (даже равны), а углы разные. Не подобны.

Поэтому для многоугольника проверяют оба условия.

Периметры и площади

Теорема о периметрах. Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.

Это видно сразу: каждая сторона $$F_1$$ в $$k$$ раз длиннее сходственной стороны $$F$$ , значит, и сумма сторон больше в $$k$$ раз — $$k$$ выносится за скобки.

Теорема о площадях. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Идея доказательства. Проведём из одной вершины все диагонали — многоугольник разобьётся на треугольники. В подобном многоугольнике сделаем то же из соответственной вершины. Пары получившихся треугольников подобны с тем же коэффициентом $$k$$ (по второму признаку: угол и две прилежащие стороны). По теореме о площадях подобных треугольников из 8 класса площадь каждого треугольника увеличивается в $$k^2$$ раз. Сложив площади, получаем $$S_1 = k^2 S$$ .

Например, если все стороны увеличить вдвое, периметр вырастет вдвое, а площадь — вчетверо: в квадрат со стороной 2 помещаются четыре квадрата со стороной 1.

Как решать задачи

Найдите соответствие: какие углы равны и какие стороны сходственные (лежат между равными углами).
Найдите $$k$$ по одной паре сходственных сторон, по отношению периметров или как корень из отношения площадей.
Длины и периметры умножайте на $$k$$ , площади — на $$k^2$$ .
Чтобы проверить подобие, сравните и углы, и отношения всех пар сходственных сторон. Не забудьте, что число сторон должно совпадать.
Следите за единицами: площади в разных единицах сначала переведите в одни.

Разобранные примеры

База

Сторона и периметр подобного многоугольника

Условие

Пятиугольник $$F_1$$ подобен пятиугольнику $$F$$ с коэффициентом 3. Одна из сторон $$F$$ равна 4 см, периметр $$F$$ — 18 см. Найдите сходственную сторону и периметр $$F_1$$ .

Дано

$F_1 \sim F$
$$k = 3$$
$$a = 4$$ см
$$P = 18$$ см

Найти

$$a_1$$
$$P_1$$

Решение

Сходственные стороны отличаются в $$k$$ раз: $a_1 = 3 \cdot 4 = 12$ см. Периметры относятся как $$k$$ : $P_1 = 3 \cdot 18 = 54$ см.

Ответ: 12 см и 54 см

Средний

Сторона по отношению площадей

Условие

Площади двух подобных многоугольников равны 18 см² и 50 см². Сторона первого равна 6 см. Найдите сходственную ей сторону второго.

Дано

$$S_1 = 18$$ см²
$$S_2 = 50$$ см²
$$a_1 = 6$$ см

Найти

$$a_2$$

Решение

Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия второго многоугольника относительно первого:

k^2 = \frac{50}{18} = \frac{25}{9}, \qquad k = \frac{5}{3}.

Тогда

a_2 = \dfrac{5}{3} \cdot 6 = 10

см.

Ответ: 10 см

Сложный

Подобны ли прямоугольники

Условие

Подобны ли прямоугольники $4 \times 6$ и $6 \times 9$ ? А прямоугольники $4 \times 6$ и $5 \times 7$ ?

Решение

Все углы прямоугольников по $90^\circ$ , так что первое условие подобия выполнено. Остаётся сравнить отношения сходственных сторон.

Для $4 \times 6$ и $6 \times 9$ : $\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ — стороны пропорциональны, прямоугольники подобны с $$k = 1{,}5$$ .

Для $4 \times 6$ и $5 \times 7$ : $\dfrac{5}{4} = 1{,}25$ , а $\dfrac{7}{6} \approx 1{,}17$ . Если сопоставить стороны наоборот, $\dfrac{7}{4} \ne \dfrac{5}{6}$ . Пропорциональности нет — не подобны, хотя углы равны.

Ответ: Первые подобны (k = 1,5), вторые нет

Типичные ошибки

Считают, что площади относятся как коэффициент подобия

Почему неверно

Площадь «двумерна»: при увеличении всех размеров в $$k$$ раз она растёт в $$k$$ раз по длине и ещё в $$k$$ раз по ширине. Если стороны удвоились, площадь стала вчетверо больше, а не вдвое.

Как правильно

Периметры и любые длины умножайте на $$k$$ , площади — на $$k^2$$ . Если дано отношение площадей, $$k$$ — это корень из него.

Проверяют подобие только по углам или только по сторонам

Почему неверно

Так работает для треугольников, но не для многоугольников. У прямоугольника и квадрата равны все углы, у ромба и квадрата пропорциональны стороны — а подобия нет.

Как правильно

Для многоугольника проверяйте оба условия: углы соответственно равны и все сходственные стороны пропорциональны.

Делят несходственные стороны

Почему неверно

Коэффициент подобия — отношение именно сходственных сторон, тех, что лежат между равными углами. Если взять, например, длинную сторону одной фигуры и короткую другой, коэффициент получится неверным.

Как правильно

Сначала найдите равные углы, по ним определите пары сходственных сторон, и только потом составляйте отношения.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Четырёхугольник $$F_1$$ подобен четырёхугольнику $$F$$ с коэффициентом $$2{,}5$$ . Одна из сторон $$F$$ равна 4 см. Найдите сходственную ей сторону $$F_1$$ .

Подсказка

Каждая сторона F₁ в k раз длиннее сходственной стороны F.

Решение

Сходственные стороны отличаются в $$k$$ раз, поэтому искомая сторона равна $2{,}5 \cdot 4 = 10$ см.

Ответ

10 см

База Задача 2

Периметр шестиугольника равен 30 см. Найдите периметр подобного ему шестиугольника, если коэффициент подобия второго относительно первого равен $$0{,}4$$ .

Подсказка

Периметры подобных многоугольников относятся как коэффициент подобия.

Решение

$P_2 = k \cdot P_1 = 0{,}4 \cdot 30 = 12$ см.

Ответ

12 см

Средний Задача 3

Площадь многоугольника $$F$$ равна 45 см². Многоугольник $$F_1$$ подобен ему с коэффициентом $\dfrac{1}{3}$ . Найдите площадь $$F_1$$ .

Подсказка

Площади отличаются в k² раз.

Решение

$S_1 = k^2 S = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot 45 = \dfrac{45}{9} = 5$ см².

Ответ

5 см²

Средний Задача 4

Сходственные стороны двух подобных пятиугольников относятся как $$2 : 5$$ . Площадь большего пятиугольника 150 см². Найдите площадь меньшего.

Подсказка

Отношение площадей равно квадрату отношения сторон.

Решение

Коэффициент подобия меньшего относительно большего $k = \dfrac{2}{5}$ , поэтому $S = k^2 \cdot 150 = \dfrac{4}{25} \cdot 150 = 24$ см².

Ответ

24 см²

Сложный Задача 5

На карте масштаба 1 : 100 000 озеро занимает 12 см². Какова площадь озера на местности в квадратных километрах?

Подсказка

Карта и местность — подобные фигуры с коэффициентом 100 000; 1 км = 100 000 см.

Решение

Все расстояния на местности в $100\,000$ раз больше, чем на карте, поэтому площадь больше в $100\,000^2 = 10^{10}$ раз: $S = 12 \cdot 10^{10}$ см². В одном квадратном километре $(10^5)^2 = 10^{10}$ см², значит, $$S = 12$$ км².

Ответ

12 км²

Сложный Задача 6

Периметры двух подобных многоугольников равны 24 см и 36 см, а сумма их площадей — 260 см². Найдите площадь каждого.

Подсказка

Найдите k по периметрам, затем выразите большую площадь через меньшую.

Решение

Коэффициент подобия большего относительно меньшего $k = \dfrac{36}{24} = \dfrac{3}{2}$ , поэтому $S_2 = k^2 S_1 = \dfrac{9}{4} S_1$ . Тогда $S_1 + \dfrac{9}{4} S_1 = \dfrac{13}{4} S_1 = 260$ , откуда $$S_1 = 80$$ см², $$S_2 = 260 - 80 = 180$$ см².

Ответ

80 см² и 180 см²

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Откройте на телефоне фотографию и увеличьте её двумя пальцами: всё стало больше, но ничего не исказилось — это подобие. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат 1 × 1 и квадрат 2 × 2: стороны вдвое длиннее, а клеток внутри вчетверо больше. Это и есть главное правило: длины — в $$k$$ раз, площади — в $$k^2$$ раз.

Вопросы для проверки понимания: 1) Подобны ли любые два прямоугольника? Почему? 2) Стороны многоугольника увеличили в 3 раза, не меняя углов. Во сколько раз выросли периметр и площадь? 3) Площади подобных многоугольников относятся как 4 : 25. Как относятся их стороны?

На что обратить внимание. Ребёнок должен проверять и углы, и стороны, а не одно из двух, и не путать $$k$$ с $$k^2$$ . В задачах с таблицами и единицами важно сначала привести площади к одним единицам.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 130	—
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 131	1296, 1297, 1298, 1299, 1300, 1301, 1302, 1303
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 132	1304, 1305, 1306, 1307, 1308