Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1346

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольник ABC вписан параллелограмм APNM (рис. 415: M на AB, N на BC, P на AC). AC = 32 см, AB = 24 см, стороны параллелограмма относятся как 4 : 3. Найдите стороны параллелограмма.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$$APNM$$ — параллелограмм
$M \in AB$
$N \in BC$
$P \in AC$ ; $$AC = 32$$ см
$$AB = 24$$ см
стороны параллелограмма относятся как $$4 : 3$$

Найти

$$AM$$ и $$MN$$

Пусть $$AM = a$$ , $$MN = AP = b$$ . Так как $MN \parallel AC$ , то $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ , и $\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{MN}{AC}$ , то есть $\dfrac{24 - a}{24} = \dfrac{b}{32}$ .
Задача не говорит, какая сторона больше, поэтому возможны два случая.
$$b : a = 4 : 3$$ , $$b = 4t$$ , $$a = 3t$$ : $\dfrac{24 - 3t}{24} = \dfrac{4t}{32}$ , откуда $$24 - 3t = 3t$$ , $$t = 4$$ . Стороны $$MN = 16$$ см, $$AM = 12$$ см.
$$a : b = 4 : 3$$ , $$a = 4t$$ , $$b = 3t$$ : $\dfrac{24 - 4t}{24} = \dfrac{3t}{32}$ , откуда $$768 - 128t = 72t$$ , $$t = 3{,}84$$ . Стороны $$AM = 15{,}36$$ см, $$MN = 11{,}52$$ см.

Ответ

12 см и 16 см или 15,36 см и 11,52 см

Почему так

Отрезок MN параллелен AC и отсекает от треугольника ABC подобный ему треугольник MBN.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).