Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1347

Задача 1

Условие (кратко)

Рис. 416: ABCD — параллелограмм, AB = 24, прямая BP пересекает DC в точке Q, DQ = 8, QC = 16, P — на продолжении AD за D. Найдите отношение площадей треугольников DPQ и APB.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм
$$AB = 24$$
$Q \in DC$
$$DQ = 8$$
$$QC = 16$$
$$P$$ — точка пересечения прямых $$AD$$ и $$BQ$$

Найти

$S_{DPQ} : S_{APB}$

$DQ \parallel AB$ , угол $$P$$ общий, поэтому $\triangle DPQ \sim \triangle APB$ по двум углам.
Коэффициент подобия $k = \dfrac{DQ}{AB} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}$ .
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: $\dfrac{S_{DPQ}}{S_{APB}} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ .

Ответ

1 : 9

Почему так

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Задача 2

Условие (кратко)

По данным рис. 416 (DQ = 8, QC = 16) найдите отношение площадей треугольников DPQ и CBQ.

Решение

Дано

те же данные
$$DQ = 8$$
$$QC = 16$$

Найти

$S_{DPQ} : S_{CBQ}$

$\angle DQP = \angle CQB$ как вертикальные; $\angle QDP = \angle QCB$ как накрест лежащие при $PD \parallel BC$ и секущей $$DC$$ . Значит, $\triangle DPQ \sim \triangle CBQ$ .
Коэффициент подобия $k = \dfrac{DQ}{CQ} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$ .
$\dfrac{S_{DPQ}}{S_{CBQ}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ .

Ответ

1 : 4

Почему так

Треугольники DPQ и CBQ подобны по двум углам, а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента.

Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-15/upr-1347/