Задача 1
Дан треугольник ABC. Постройте треугольник A₁B₁C₁, подобный треугольнику ABC, площадь которого в 2 раза больше площади треугольника ABC.
Решение
Площади подобных треугольников относятся как \(k^2\). Нужно \(k^2 = 2\), то есть \(k = \sqrt{2}\): стороны искомого треугольника в \(\sqrt{2}\) раз больше сторон \(\triangle ABC\).
Построение.
-
Построим прямой угол с вершиной \(O\) и отложим на его сторонах отрезки \(OX = OY = AB\). Гипотенуза \(XY = AB\sqrt{2}\) (теорема Пифагора).
-
На произвольной прямой отложим отрезок \(A_1B_1 = XY\).
-
От луча \(A_1B_1\) отложим угол, равный \(\angle A\), а от луча \(B_1A_1\) в ту же полуплоскость — угол, равный \(\angle B\). Точка пересечения сторон этих углов — \(C_1\).
Обоснование: \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC\) по двум углам, \(k = \dfrac{A_1B_1}{AB} = \sqrt{2}\), поэтому \(S_{A_1B_1C_1} = k^2 \cdot S_{ABC} = 2S_{ABC}\).
Ответ
Чтобы площадь увеличилась в 2 раза, коэффициент подобия должен быть √2 — это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом AB.
Подробнее — в теме «Подобные многоугольники».