Задание 1349

Квадраты подобны, площади относятся как \(k^2\). Нужно \(k^2 = \dfrac{1}{4}\), \(k = \dfrac{1}{2}\): сторона нового квадрата равна \(\dfrac{AB}{2}\).

1. Построим середину \(M\) стороны \(AB\) (серединный перпендикуляр циркулем и линейкой).

2. На отрезке \(AM\) построим квадрат: восставим перпендикуляры к \(AM\) в точках \(A\) и \(M\), отложим на них отрезки, равные \(AM\), и соединим концы.

Его площадь \(\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 = \dfrac{S}{4}\).

Нужно \(k^2 = \dfrac{1}{9}\), \(k = \dfrac{1}{3}\): сторона нового квадрата равна \(\dfrac{AB}{3}\).

1. Разделим \(AB\) на три равные части: из точки \(A\) проведём луч, отложим на нём три равных отрезка \(AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3\), соединим \(A_3\) с \(B\) и через \(A_1\) проведём прямую, параллельную \(A_3B\). Она отсечёт на \(AB\) отрезок \(AK = \dfrac{AB}{3}\) (теорема Фалеса).

2. На отрезке \(AK\) построим квадрат.

Его площадь \(\left(\dfrac{AB}{3}\right)^2 = \dfrac{S}{9}\).

Нужно \(k^2 = 3\), \(k = \sqrt{3}\): сторона нового квадрата равна \(AB\sqrt{3}\).

1. Диагональ квадрата \(AC = AB\sqrt{2}\).

2. Построим прямоугольный треугольник с катетами \(AC\) и \(AB\): восставим к \(AC\) перпендикуляр в точке \(C\) и отложим на нём \(CE = AB\). Гипотенуза \(AE = \sqrt{2AB^2 + AB^2} = AB\sqrt{3}\).

3. На отрезке \(AE\) построим квадрат.

Его площадь \(AE^2 = 3AB^2 = 3S\).