Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1350

Задача 1

Условие (кратко)

На прямой через равные промежутки отмечены точки; по рис. 417 M, N, P, Q, R стоят на делениях 0, 2, 5, 7, 9. Найдите коэффициент гомотетии с центром M, переводящей N в P.

Решение

Дано

точки на прямой на делениях $$M = 0$$
$$N = 2$$
$$P = 5$$
$$Q = 7$$
$$R = 9$$ (единица — расстояние между соседними точками); центр $$M$$
$N \to P$

Найти

$$k$$

При гомотетии с центром $$O$$ образ $$X_1$$ точки $$X$$ удовлетворяет условию $\overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}$ .

$\overrightarrow{MN}$ имеет длину 2 и направлен вправо, $\overrightarrow{MP}$ — длину 5, тоже вправо. Значит, $k = \dfrac{5}{2}$ .

Ответ

k = 5/2

Почему так

Коэффициент гомотетии равен отношению векторов OX₁ и OX — с плюсом, если они сонаправлены, и с минусом, если противоположны.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 2

Условие (кратко)

По рис. 417 (M, N, P, Q, R на делениях 0, 2, 5, 7, 9) найдите коэффициент гомотетии с центром P, переводящей Q в N.

Решение

Дано

$$P = 5$$
$$Q = 7$$
$$N = 2$$ ; центр $$P$$
$Q \to N$

Найти

$$k$$

$\overrightarrow{PQ}$ — длина 2, вправо; $\overrightarrow{PN}$ — длина 3, влево. Векторы противоположно направлены, поэтому $k = -\dfrac{3}{2}$ .

Ответ

k = −3/2

Почему так

Образ лежит по другую сторону от центра, поэтому коэффициент отрицательный, а его модуль равен отношению расстояний до центра.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 3

Условие (кратко)

По рис. 417 (M, N, P, Q, R на делениях 0, 2, 5, 7, 9) найдите коэффициент гомотетии с центром N, переводящей M в R.

Решение

Дано

$$N = 2$$
$$M = 0$$
$$R = 9$$ ; центр $$N$$
$M \to R$

Найти

$$k$$

$\overrightarrow{NM}$ — длина 2, влево; $\overrightarrow{NR}$ — длина 7, вправо. Векторы противоположны, $k = -\dfrac{7}{2}$ .

Ответ

k = −7/2

Почему так

Центр лежит между точкой и её образом, значит, k < 0, а |k| = NR : NM.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Задача 4

Условие (кратко)

По рис. 417 (M, N, P, Q, R на делениях 0, 2, 5, 7, 9) найдите коэффициент гомотетии с центром R, переводящей M в Q.

Решение

Дано

$$R = 9$$
$$M = 0$$
$$Q = 7$$ ; центр $$R$$
$M \to Q$

Найти

$$k$$

$\overrightarrow{RM}$ — длина 9, влево; $\overrightarrow{RQ}$ — длина 2, тоже влево. Векторы сонаправлены, $k = \dfrac{2}{9}$ .

Ответ

k = 2/9

Почему так

Точка и образ по одну сторону от центра, поэтому k > 0, а k = RQ : RM.

Подробнее — в теме «Гомотетия».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-15/upr-1350/