Гомотетия

Представьте проектор в тёмном классе. Лампа — одна точка, а картинка на экране — та же, что на слайде, только больше. Каждая точка слайда «уезжает» по лучу от лампы, и все расстояния вырастают в одно и то же число раз. Такое преобразование в геометрии называют гомотетией.

Определение

Возьмём точку \(O\) и число \(k \ne 0\). Каждой точке \(M\), отличной от \(O\), поставим в соответствие точку \(M_1\) по правилу:

1. если \(k > 0\), точка \(M_1\) лежит на луче \(OM\); если \(k < 0\) — на продолжении луча \(OM\) за точку \(O\);
2. \(OM_1 = |k| \cdot OM\).

Точка \(O\) переходит сама в себя. Это преобразование плоскости называют гомотетией (или центральным подобием), \(O\) — центром гомотетии, \(k\) — коэффициентом. Короче всё правило записывается одним векторным равенством \(\overrightarrow{OM_1} = k \cdot \overrightarrow{OM}\): при умножении вектора на положительное число направление сохраняется, на отрицательное — меняется на противоположное, а длина умножается на \(|k|\).

Фигуру \(F_1\), в которую гомотетия переводит фигуру \(F\), называют гомотетичной фигуре \(F\).

Особые случаи:

• \(k = 1\) — каждая точка остаётся на месте;
• \(k = -1\) — точка переходит в симметричную относительно \(O\), то есть центральная симметрия — частный случай гомотетии;
• \(|k| > 1\) — фигура увеличивается, \(|k| < 1\) — уменьшается.

Свойства гомотетии

1. Прямая, проходящая через центр, переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр, — в параллельную ей прямую (при \(k \ne 1\)).
2. Отрезок \(AB\) переходит в отрезок \(A_1B_1\), и \(A_1B_1 = |k| \cdot AB\).
3. Окружность с центром \(C\) и радиусом \(r\) переходит в окружность с центром \(C_1\) (образом \(C\)) и радиусом \(|k| r\).

Почему так. Из векторной записи \(\overrightarrow{OA_1} = k\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB_1} = k\overrightarrow{OB}\) вычитанием получаем \(\overrightarrow{A_1B_1} = k\overrightarrow{AB}\). Значит, \(A_1B_1 \parallel AB\) (или лежат на одной прямой) и \(A_1B_1 = |k| \cdot AB\) — отсюда свойства 1 и 2. Если \(CM = r\), то \(C_1M_1 = |k| r\) — это свойство 3.

Из свойств 1 и 2 следует: луч переходит в луч, а угол — в равный ему угол (стороны угла переходят в параллельные лучи).

Теорема о гомотетичных многоугольниках

Теорема. При гомотетии с коэффициентом \(k\) многоугольник переходит в подобный ему многоугольник с коэффициентом подобия \(|k|\).

Каждая сторона образа в \(|k|\) раз длиннее соответствующей стороны (свойство 2), а каждый угол равен соответствующему углу (угол переходит в равный). Это и есть определение подобных многоугольников.

Как решать задачи

1. Чтобы построить образ точки \(M\), проведите луч \(OM\). При \(k > 0\) отложите на нём \(OM_1 = k \cdot OM\), при \(k < 0\) — на продолжении луча за \(O\), \(OM_1 = |k| \cdot OM\).
2. Образ многоугольника — многоугольник с вершинами в образах вершин. Достаточно построить образы вершин и соединить их.
3. Образ прямой: постройте образ одной её точки и проведите через него прямую, параллельную данной.
4. Образ окружности: постройте образ центра \(C_1\), радиус умножьте на \(|k|\).
5. Если известны центр и одна пара точек \(A \to A_1\), образ любой точки \(M\) строят параллелью: через \(A_1\) проводят прямую, параллельную \(AM\), до пересечения с прямой \(OM\).
6. В расчётах: длины умножаются на \(|k|\), площади — на \(k^2\), углы не меняются.