Задача 1
Неравные отрезки AB и A₁B₁ лежат на параллельных прямых. Постройте центр гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A₁B₁. Сколько решений имеет задача?
Решение
При гомотетии точка, её образ и центр лежат на одной прямой. Отрезок \(AB\) может перейти в \(A_1B_1\) двумя способами: \(A \to A_1\), \(B \to B_1\) или \(A \to B_1\), \(B \to A_1\).
Построение.
-
Проведём прямые \(AA_1\) и \(BB_1\); их точка пересечения \(O_1\) — центр первой гомотетии.
-
Проведём прямые \(AB_1\) и \(BA_1\); их точка пересечения \(O_2\) — центр второй гомотетии.
Почему прямые пересекаются: если бы \(AA_1 \parallel BB_1\), то \(ABB_1A_1\) был бы параллелограммом и \(AB = A_1B_1\), что не так. То же для \(AB_1\) и \(BA_1\).
Почему это гомотетия: например, для \(O_1\) треугольники \(O_1AB\) и \(O_1A_1B_1\) подобны (\(AB \parallel A_1B_1\)), \(\dfrac{O_1A_1}{O_1A} = \dfrac{O_1B_1}{O_1B} = \dfrac{A_1B_1}{AB}\), поэтому гомотетия с центром \(O_1\) и этим коэффициентом (со знаком) переводит \(A\) в \(A_1\) и \(B\) в \(B_1\).
Одна гомотетия имеет положительный коэффициент, другая — отрицательный. Задача имеет два решения.
Ответ
Отрезок можно перевести в отрезок двумя способами (A в A₁ или A в B₁), и для неравных отрезков каждый способ даёт свой центр.
Подробнее — в теме «Гомотетия».