Задача 1
Решите задачу 1351 для случая AB = A₁B₁ (отрезки лежат на параллельных прямых). Сколько решений имеет задача?
Решение
Пусть \(AB = A_1B_1\), \(AB \parallel A_1B_1\). Тогда при одном из способов соответствия концов получается параллелограмм — пусть это \(ABB_1A_1\) (если отрезки направлены одинаково).
-
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) — противоположные стороны параллелограмма, они параллельны, центра нет. (Отрезок переходит в отрезок параллельным переносом, а не гомотетией.)
-
Прямые \(AB_1\) и \(BA_1\) — диагонали параллелограмма, они пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам. Гомотетия с центром \(O\) и \(k = -1\) (центральная симметрия) переводит \(A\) в \(B_1\) и \(B\) в \(A_1\).
Задача имеет одно решение.
Ответ
При равных параллельных отрезках остаётся только центр с k = −1 — точка пересечения диагоналей параллелограмма.
Подробнее — в теме «Гомотетия».