Задача 1
При некоторой гомотетии точки A, B, C переходят в A₁, B₁, C₁. Докажите, что если B лежит между A и C, то B₁ лежит между A₁ и C₁.
Решение
Дано: гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\), \(A \to A_1\), \(B \to B_1\), \(C \to C_1\); \(B\) лежит между \(A\) и \(C\). Доказать: \(B_1\) лежит между \(A_1\) и \(C_1\).
-
По определению гомотетии \(\overrightarrow{OA_1} = k\overrightarrow{OA}\) и т. д. Поэтому \(\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{OB_1} - \overrightarrow{OA_1} = k\overrightarrow{AB}\), аналогично \(\overrightarrow{A_1C_1} = k\overrightarrow{AC}\).
-
Точка \(B\) лежит между \(A\) и \(C\), значит, \(\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC}\), где \(0 < t < 1\).
-
Тогда \(\overrightarrow{A_1B_1} = k t \overrightarrow{AC} = t \cdot k\overrightarrow{AC} = t\overrightarrow{A_1C_1}\) с тем же \(0 < t < 1\). Это и значит, что \(B_1\) лежит между \(A_1\) и \(C_1\).
Ответ
При гомотетии каждый вектор умножается на k, поэтому сохраняется отношение, в котором точка делит отрезок.
Подробнее — в теме «Гомотетия».