Задача 1
Условие (кратко)
Пользуясь задачей 1353, докажите, что если при гомотетии отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁, то середина AB переходит в середину A₁B₁.
Решение
Дано: гомотетия с коэффициентом \(k\), \(A \to A_1\), \(B \to B_1\), \(M\) — середина \(AB\), \(M \to M_1\). Доказать: \(M_1\) — середина \(A_1B_1\).
-
\(M\) лежит между \(A\) и \(B\), поэтому по задаче 1353 \(M_1\) лежит между \(A_1\) и \(B_1\).
-
При гомотетии расстояния умножаются на \(|k|\): \(A_1M_1 = |k| \cdot AM\), \(M_1B_1 = |k| \cdot MB\).
-
Так как \(AM = MB\), то \(A_1M_1 = M_1B_1\). Точка отрезка \(A_1B_1\), равноудалённая от его концов, — середина.
Ответ
Утверждение доказано.
Почему так
Гомотетия сохраняет порядок точек на прямой и умножает все расстояния на |k|, поэтому середина переходит в середину.
Подробнее — в теме «Гомотетия».