Задача 1
Центр гомотетии O лежит на данной окружности. Докажите, что эта окружность и её образ при гомотетии с центром O имеют в точке O общую касательную.
Решение
Дано: окружность с центром \(Q\) радиуса \(r\), точка \(O\) на ней; гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\). Доказать: окружность и её образ касаются одной прямой в точке \(O\).
-
При гомотетии окружность переходит в окружность: центр \(Q\) — в точку \(Q_1\), \(\overrightarrow{OQ_1} = k\overrightarrow{OQ}\), радиус — в \(|k|r\).
-
\(OQ = r\), поэтому \(OQ_1 = |k|r\) — радиусу новой окружности. Значит, точка \(O\) лежит и на новой окружности.
-
Точки \(O\), \(Q\), \(Q_1\) лежат на одной прямой. Касательная к первой окружности в точке \(O\) перпендикулярна радиусу \(OQ\), касательная ко второй — радиусу \(OQ_1\), то есть той же прямой. Через \(O\) проходит только одна прямая, перпендикулярная прямой \(OQ\), — это и есть общая касательная.
Ответ
Центры обеих окружностей лежат на одной прямой с O, а касательная в точке O перпендикулярна радиусу.
Подробнее — в теме «Гомотетия».