Задача 1
В трапеции с основаниями MN и PQ диагонали MP и NQ пересекаются в точке O. С помощью задачи 1355 докажите, что окружности, описанные около треугольников MNO и PQO, имеют общую касательную в точке O.
Решение
Дано: \(MNPQ\) — трапеция, \(MN \parallel PQ\), \(MP \cap NQ = O\). Доказать: описанные окружности \(\triangle MNO\) и \(\triangle PQO\) касаются одной прямой в точке \(O\).
-
\(\triangle MON \sim \triangle POQ\): углы при \(O\) вертикальные, \(\angle OMN = \angle OPQ\) как накрест лежащие при \(MN \parallel PQ\). Поэтому \(\dfrac{OP}{OM} = \dfrac{OQ}{ON} = \dfrac{PQ}{MN}\).
-
Точки \(P\) и \(M\), \(Q\) и \(N\) лежат по разные стороны от \(O\). Значит, гомотетия с центром \(O\) и \(k = -\dfrac{PQ}{MN}\) переводит \(M\) в \(P\), \(N\) в \(Q\), а \(O\) — в себя.
-
Треугольник \(MNO\) переходит в треугольник \(PQO\), а его описанная окружность — в описанную окружность \(\triangle PQO\) (гомотетия переводит окружность в окружность, проходящую через образы трёх точек).
-
Центр гомотетии \(O\) лежит на первой окружности, поэтому по задаче 1355 эти окружности имеют в точке \(O\) общую касательную.
Ответ
Треугольники MNO и PQO гомотетичны с центром O, а гомотетия с центром на окружности даёт общую касательную в центре.
Подробнее — в теме «Гомотетия».