Задача 1
С помощью гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC докажите, что радиус описанной около него окружности в 2 раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника с вершинами в серединах сторон.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(G\) — точка пересечения медиан, \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — середины \(BC\), \(CA\), \(AB\); \(R\) и \(R_1\) — радиусы описанных окружностей \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Доказать: \(R = 2R_1\).
-
Медианы делятся точкой \(G\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины: \(GA = 2GA_1\), причём \(A\) и \(A_1\) — по разные стороны от \(G\). Значит, \(\overrightarrow{GA_1} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GA}\), аналогично для \(B_1\) и \(C_1\).
-
Гомотетия с центром \(G\) и \(k = -\dfrac{1}{2}\) переводит \(A\), \(B\), \(C\) в \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), а описанную окружность \(\triangle ABC\) — в окружность, проходящую через \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), то есть в описанную окружность \(\triangle A_1B_1C_1\).
-
Радиус при гомотетии умножается на \(|k| = \dfrac{1}{2}\): \(R_1 = \dfrac{R}{2}\), то есть \(R = 2R_1\).
Ответ
Гомотетия с центром в точке пересечения медиан и k = −1/2 переводит треугольник в серединный, а радиус окружности умножает на 1/2.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».