Применение подобия фигур к доказательствам и задачам

Представьте, что две хорды окружности пересеклись и разрезали друг друга на кусочки. Оказывается, длины кусочков связаны: если одна хорда разрезана на 2 и 6, а у другой один кусок 3, то второй обязательно 4. Почему так? Причина — подобные треугольники.

Отрезки пересекающихся хорд

Теорема. Если хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\), то \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\).

Соединим \(A\) с \(C\) и \(B\) с \(D\). В треугольниках \(AMC\) и \(DMB\) углы при \(M\) равны как вертикальные, а углы \(CAB\) и \(CDB\) — вписанные и опираются на одну дугу \(BC\). Треугольники подобны по двум углам, поэтому \(\dfrac{MA}{MD} = \dfrac{MC}{MB}\). По основному свойству пропорции \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\).

Касательная и секущая

Пусть из точки \(M\) вне окружности проведены касательная \(MK\) (\(K\) — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках \(A\) и \(B\). Отрезки секущей — это \(MA\) и \(MB\), оба от точки \(M\).

Теорема. \(MK^2 = MA \cdot MB\).

Треугольники \(MKA\) и \(MBK\) подобны: угол \(M\) у них общий, а угол \(MKA\) между касательной и хордой \(KA\) равен вписанному углу \(KBA\) — оба измеряются половиной дуги \(AK\). Из подобия \(\dfrac{MK}{MB} = \dfrac{MA}{MK}\), то есть \(MK^2 = MA \cdot MB\).

Следствие. Если из точки \(M\) проведены две секущие \(MAB\) и \(MCD\), то \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\): оба произведения равны квадрату одной и той же касательной.

Удобно помнить общую идею: для данной точки \(M\) и окружности произведение расстояний от \(M\) до двух точек пересечения с окружностью одинаково для любой прямой через \(M\). Если взять прямую через центр, это произведение равно \(MO^2 - R^2\) для внешней точки и \(R^2 - MO^2\) для внутренней.

Гомотетия в задачах

Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) переводит прямую в параллельную прямую, отрезок — в отрезок длиной \(|k|\) от исходного, окружность радиуса \(r\) — в окружность радиуса \(|k|r\). Отсюда два приёма.

Множество точек. Возьмём точку \(A\) на окружности и все хорды с концом \(A\). Середина хорды \(AX\) — образ точки \(X\) при гомотетии с центром \(A\) и \(k = \dfrac{1}{2}\). Поэтому середины всех таких хорд лежат на окружности вдвое меньшего радиуса, построенной на отрезке от \(A\) до центра как на диаметре.

Построение. Сначала строят фигуру, которая удовлетворяет только части условий: например, любую окружность, вписанную в угол. Потом гомотетией с центром в вершине угла её «растягивают» или «сжимают» так, чтобы выполнилось последнее условие — окружность прошла через нужную точку. Так же вписывают квадрат в треугольник.

Гомотетией доказывается и теорема о медианах: при гомотетии с центром в точке, делящей медиану \(AA_1\) в отношении \(2 : 1\), и коэффициентом \(k = -\dfrac{1}{2}\) вершины треугольника переходят в середины противоположных сторон. Значит, эта точка лежит на всех трёх медианах.

Как решать задачи

1. Найдите точку, из которой выходят отрезки, и определите случай: хорды пересекаются внутри круга, касательная и секущая или две секущие снаружи.
2. Запишите равенство произведений, считая все отрезки от точки пересечения до точек окружности.
3. Подставьте известное и найдите неизвестное. Хорду секущей ищите как разность \(MB - MA\).
4. Если дано расстояние до центра, проведите прямую через центр: её отрезки равны \(d - R\) и \(d + R\) (или \(R - d\) и \(R + d\) внутри).
5. В задаче на множество точек или построение ищите гомотетию: центр — общая точка, коэффициент — отношение отрезков.