Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1358

Задача 1

Условие (кратко)

Точка O — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции. С помощью гомотетии с центром O докажите, что O лежит на прямой, проходящей через середины оснований.

Решение

Дано: трапеция $$ABCD$$ , $AD \parallel BC$ , прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$ ; $$M$$ и $$N$$ — середины $$AD$$ и $$BC$$ . Доказать: $$O$$ лежит на прямой $$MN$$ .

$BC \parallel AD$ , поэтому $\triangle OBC \sim \triangle OAD$ и $\dfrac{OB}{OA} = \dfrac{OC}{OD} = k$ . Точки $$B$$ и $$A$$ , $$C$$ и $$D$$ лежат на одних лучах с началом $$O$$ .
Гомотетия с центром $$O$$ и коэффициентом $$k$$ переводит $$A$$ в $$B$$ , $$D$$ в $$C$$ , то есть отрезок $$AD$$ — в отрезок $$BC$$ .
По задаче 1354 середина $$M$$ отрезка $$AD$$ переходит в середину $$N$$ отрезка $$BC$$ .
Точка и её образ лежат на одной прямой с центром гомотетии, поэтому $$O$$ , $$M$$ , $$N$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано.

Почему так

Гомотетия с центром O переводит одно основание в другое, а середину — в середину, и точка с образом лежат на прямой через центр.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).