Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1359

Условие (кратко)

Дана окружность с центром O радиуса r, точка P окружности и хорда AB. Постройте хорду PX так, чтобы её середина принадлежала хорде AB.

Решение

Анализ. Середина $$M$$ хорды $$PX$$ — образ точки $$X$$ при гомотетии с центром $$P$$ и $k = \dfrac{1}{2}$ . Когда $$X$$ пробегает окружность, $$M$$ пробегает её образ — окружность $\omega$ с центром $$O_1$$ (середина $$PO$$ ) и радиусом $\dfrac{r}{2}$ . Значит, $$M$$ — общая точка окружности $\omega$ и хорды $$AB$$ .

Построение.

Построим середину $$O_1$$ отрезка $$PO$$ .
Проведём окружность $\omega$ с центром $$O_1$$ радиуса $\dfrac{r}{2}$ (она проходит через $$P$$ и касается данной окружности в точке $$P$$ ).
Отметим точку $$M$$ пересечения $\omega$ с хордой $$AB$$ .
Проведём луч $$PM$$ ; он пересечёт данную окружность в точке $$X$$ . Хорда $$PX$$ — искомая.

Обоснование: гомотетия с центром $$P$$ и $$k = 2$$ переводит $\omega$ в данную окружность, а $$M$$ — в точку $$X$$ луча $$PM$$ с $$PX = 2PM$$ , то есть $$M$$ — середина $$PX$$ и лежит на $$AB$$ .

Если $\omega$ пересекает хорду $$AB$$ в двух точках, решений два, если в одной — одно, если не пересекает — решений нет (точку $$M = P$$ не берём: она не даёт хорды).

Ответ

Хорда PX построена; её середина — точка пересечения хорды AB с окружностью, гомотетичной данной с центром P и k = 1/2.

Почему так

Середины всех хорд с концом P лежат на окружности, гомотетичной данной с центром P и коэффициентом 1/2.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Задание 1359

Задача 1