Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1360

Задача 1

Условие (кратко)

В угол вписаны две окружности; одна касается сторон угла в точках M и N, другая — в точках P и Q. Докажите, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные хорды.

Решение

Дано: угол с вершиной $$S$$ ; окружность $\omega_1$ касается сторон в точках $$M$$ и $$N$$ , окружность $\omega_2$ — в точках $$P$$ и $$Q$$ ( $$M$$ , $$P$$ на одной стороне, $$N$$ , $$Q$$ — на другой). Прямая $$MQ$$ второй раз пересекает $\omega_1$ в точке $$E$$ , $\omega_2$ — в точке $$F$$ . Доказать: $$ME = QF$$ .

Отрезки касательных из одной точки равны: $$SM = SN$$ , $$SP = SQ$$ . Поэтому $$MP = |SP - SM| = |SQ - SN| = NQ$$ .
Точка $$M$$ лежит вне $\omega_2$ , $$MP$$ — отрезок касательной, $$MQ$$ — секущая. По теореме о квадрате касательной $MP^2 = MF \cdot MQ$ .
Точка $$Q$$ лежит вне $\omega_1$ , $$QN$$ — отрезок касательной: $QN^2 = QE \cdot QM$ .
Так как $$MP = QN$$ , то $MF \cdot MQ = QE \cdot QM$ , откуда $$MF = QE$$ .
Точки $$E$$ и $$F$$ лежат на прямой $$MQ$$ по ту же сторону от $$Q$$ и от $$M$$ соответственно, поэтому хорды равны: $$ME = |MQ - QE| = |MQ - MF| = QF$$ .

Ответ

Утверждение доказано, хорды равны.

Почему так

Отрезки касательных MP и NQ равны, поэтому по теореме о квадрате касательной равны и внешние части секущей, а с ними и хорды.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).