Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1361

Задача 1

Условие (кратко)

В окружности проведён диаметр AB. Прямая через A и произвольную точку M окружности пересекает касательную в точке B в точке K. Докажите, что AM · AK не зависит от выбора M.

Решение

Дано: $$AB$$ — диаметр, $$BK$$ — касательная в точке $$B$$ , $$M$$ — точка окружности на отрезке $$AK$$ . Доказать: $AM \cdot AK$ не зависит от $$M$$ .

Касательная перпендикулярна радиусу, поэтому $\angle ABK = 90^\circ$ и по теореме Пифагора $$AK^2 = AB^2 + BK^2$$ .
Точка $$K$$ лежит вне окружности, $$KB$$ — отрезок касательной, $$KA$$ — секущая. По теореме о квадрате касательной $KB^2 = KM \cdot KA$ .
Тогда $AB^2 = AK^2 - KB^2 = AK^2 - KM \cdot AK = AK(AK - KM) = AK \cdot AM$ .
Итак, $AM \cdot AK = AB^2$ — квадрат диаметра, он от выбора $$M$$ не зависит.

Ответ

AM · AK = AB² — квадрат диаметра, не зависит от M.

Почему так

Теорема о квадрате касательной из точки K вместе с теоремой Пифагора в треугольнике ABK дают AM · AK = AB².

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).