Рис. 418: ABCD — параллелограмм, P и Q — середины AD и BC, отрезки AQ и PC пересекают диагональ BD в точках L и K. Докажите, что гомотетия с центром D и k = 2 переводит K в L.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(P\) и \(Q\) — середины \(AD\) и \(BC\), \(L = AQ \cap BD\), \(K = PC \cap BD\). Доказать: гомотетия с центром \(D\) и \(k = 2\) переводит \(K\) в \(L\).
\(AP = QC\) и \(AP \parallel QC\), поэтому \(APCQ\) — параллелограмм и \(AQ \parallel PC\).
\(P\) — середина \(DA\), поэтому \(\overrightarrow{DA} = 2\overrightarrow{DP}\): гомотетия с центром \(D\) и \(k = 2\) переводит \(P\) в \(A\).
Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую (или в себя). Прямая \(PC\) переходит в прямую через \(A\), параллельную \(PC\), то есть в \(AQ\). Прямая \(DB\) проходит через центр и переходит в себя.
Точка \(K\) пересечения \(PC\) и \(DB\) переходит в точку пересечения их образов \(AQ\) и \(DB\) — в точку \(L\).
Ответ
Утверждение доказано.
Почему так
Гомотетия (D, 2) переводит P в A, прямую PC — в параллельную ей AQ, а диагональ BD — в себя, поэтому K переходит в L.
По рис. 418 докажите, что гомотетия с центром B и k = 2 переводит точку L в точку K.
Решение
Дано: те же условия. Доказать: гомотетия с центром \(B\) и \(k = 2\) переводит \(L\) в \(K\).
\(Q\) — середина \(BC\), поэтому \(\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BQ}\): гомотетия с центром \(B\) и \(k = 2\) переводит \(Q\) в \(C\).
Прямая \(AQ\) переходит в прямую через \(C\), параллельную \(AQ\), то есть в \(PC\) (так как \(AQ \parallel PC\)). Прямая \(BD\) проходит через центр и переходит в себя.
Точка \(L = AQ \cap BD\) переходит в \(PC \cap BD = K\).
Ответ
Утверждение доказано.
Почему так
Гомотетия (B, 2) переводит Q в C, прямую AQ — в параллельную ей PC, а BD — в себя, поэтому L переходит в K.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).