Задача 1
Рис. 419: P и C, B и Q симметричны относительно биссектрисы AX угла BAC, AB = 5, AC = 3, D — точка пересечения PQ и BC. С помощью гомотетии с центром D докажите, что CD = 3/8 BC.
Решение
Дано: \(AX\) — биссектриса угла \(BAC\), \(P\) и \(C\), \(B\) и \(Q\) симметричны относительно \(AX\), \(AB = 5\), \(AC = 3\), \(D = PQ \cap BC\). Доказать: \(CD = \dfrac{3}{8}BC\).
В учебнике напечатано «\(CD = \dfrac{3}{8}\)» — пропущено «\(BC\)»; доказываем \(CD : BC = 3 : 8\).
-
При симметрии относительно \(AX\) луч \(AC\) переходит в луч \(AB\). Поэтому \(P\) лежит на \(AB\), \(AP = AC = 3\); \(Q\) лежит на луче \(AC\), \(AQ = AB = 5\).
-
Отрезки \(PC\) и \(BQ\) перпендикулярны оси \(AX\), значит, \(PC \parallel BQ\).
-
\(\triangle APC \sim \triangle ABQ\) (\(PC \parallel BQ\), угол \(A\) общий), \(\dfrac{BQ}{PC} = \dfrac{AB}{AP} = \dfrac{5}{3}\).
-
Прямые \(PQ\) и \(CB\) пересекаются в точке \(D\), и \(D\) лежит между \(P\) и \(Q\), между \(C\) и \(B\). Так как \(PC \parallel QB\), гомотетия с центром \(D\) и \(k = -\dfrac{BQ}{PC} = -\dfrac{5}{3}\) переводит \(P\) в \(Q\) и \(C\) в \(B\) (треугольники \(DPC\) и \(DQB\) подобны с коэффициентом \(\dfrac{5}{3}\)).
-
Отсюда \(DB = \dfrac{5}{3}DC\), \(BC = DC + DB = \dfrac{8}{3}DC\), то есть \(CD = \dfrac{3}{8}BC\).
Ответ
Отрезки PC и BQ параллельны, и гомотетия с центром D и k = −5/3 переводит PC в QB, поэтому D делит BC в отношении 3 : 5.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».