Задача 1
Дана окружность с центром O радиуса r и точка A. Докажите, что середины отрезков AM, где M — любая точка окружности, образуют окружность. Укажите её центр и радиус.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) радиуса \(r\), точка \(A\). Доказать: множество середин отрезков \(AM\) (\(M\) на окружности) — окружность; найти её центр и радиус.
-
Середина \(M_1\) отрезка \(AM\) — образ точки \(M\) при гомотетии с центром \(A\) и \(k = \dfrac{1}{2}\): \(\overrightarrow{AM_1} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}\).
-
Гомотетия переводит окружность в окружность. Центр \(O\) переходит в середину \(O_1\) отрезка \(AO\), радиус умножается на \(\dfrac{1}{2}\).
-
Каждая точка \(M\) окружности даёт точку \(M_1\) окружности с центром \(O_1\) и радиусом \(\dfrac{r}{2}\). Обратно, каждая точка \(M_1\) этой окружности — середина отрезка \(AM\), где \(M\) — её образ при гомотетии с центром \(A\) и \(k = 2\), лежащий на данной окружности.
-
Значит, искомое множество — окружность с центром в середине \(AO\) и радиусом \(\dfrac{r}{2}\) (если \(A\) совпадает с \(O\), центр — сама точка \(O\)).
Ответ
Середина отрезка AM — образ M при гомотетии с центром A и коэффициентом 1/2, а образ окружности — окружность.
Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».