Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1366

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и k = −2 серединные перпендикуляры к сторонам переходят в прямые, содержащие высоты треугольника.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$G$$ — точка пересечения медиан, гомотетия с центром $$G$$ и $$k = -2$$ . Доказать: серединные перпендикуляры к сторонам переходят в прямые, содержащие высоты.

Пусть $$A_1$$ — середина $$BC$$ . Медиана делится точкой $$G$$ в отношении $$AG : GA_1 = 2 : 1$$ , точки $$A$$ и $$A_1$$ — по разные стороны от $$G$$ . Значит, $\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GA_1}$ : гомотетия переводит $$A_1$$ в $$A$$ .
Серединный перпендикуляр к $$BC$$ — прямая через $$A_1$$ , перпендикулярная $$BC$$ . Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую, проходящую через образ точки. Образ — прямая через $$A$$ , перпендикулярная $$BC$$ , то есть прямая, содержащая высоту из вершины $$A$$ .
Так же серединные перпендикуляры к $$CA$$ и $$AB$$ переходят в прямые, содержащие высоты из $$B$$ и $$C$$ .

Ответ

Утверждение доказано.

Почему так

Гомотетия (G, −2) переводит середину стороны в противоположную вершину и сохраняет направления прямых.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).