Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе XV, задание 1367

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что центр описанной окружности, центроид (точка пересечения медиан) и ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера).

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$O$$ — центр описанной окружности, $$G$$ — точка пересечения медиан, $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты. Доказать: $$O$$ , $$G$$ , $$H$$ лежат на одной прямой.

$$O$$ — общая точка трёх серединных перпендикуляров к сторонам.
По задаче 1366 гомотетия с центром $$G$$ и $$k = -2$$ переводит серединные перпендикуляры в прямые, содержащие высоты. Значит, их общая точка $$O$$ переходит в общую точку этих прямых — в $$H$$ : $\overrightarrow{GH} = -2\overrightarrow{GO}$ .
Точка, её образ и центр гомотетии лежат на одной прямой, поэтому $$O$$ , $$G$$ , $$H$$ лежат на одной прямой, причём $$GH = 2GO$$ . (Если $$O$$ совпадает с $$G$$ , как у правильного треугольника, то и $$H$$ совпадает с ними.)

Ответ

Утверждение доказано: O, G и H лежат на одной прямой, GH = 2GO.

Почему так

Гомотетия с центром в центроиде и k = −2 переводит центр описанной окружности в ортоцентр.

Подробнее — в теме «Применение подобия фигур к доказательствам и задачам».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).