Задание 1

План построения. 1) Строим угол \(A\), равный \(\alpha\). 2) На одной его стороне откладываем \(AB = c\). 3) Проводим окружность с центром \(B\) радиуса \(a\). 4) Вершина \(C\) — точка пересечения этой окружности с другой стороной угла (лучом \(AC\)), отличная от \(A\). Значит, число решений равно числу таких точек.

Расстояние от \(B\) до прямой \(AC\). Опустим перпендикуляр \(BH\) на прямую \(AC\). Из прямоугольного треугольника \(ABH\): \(BH = c\sin\alpha\) (при тупом \(\alpha\) берём смежный угол, его синус тот же).

Случай 1: \(\alpha < 90^\circ\). Тогда точка \(H\) лежит на луче \(AC\), \(AH = c\cos\alpha\). Окружность пересекает прямую \(AC\), только если \(a \ge BH = c\sin\alpha\). При \(a = c\sin\alpha\) общая точка одна — \(H\), она на луче. При \(a > c\sin\alpha\) точек две, они симметричны относительно \(H\) и удалены от неё на \(\sqrt{a^2 - c^2\sin^2\alpha}\). Обе лежат на луче \(AC\) (по ту же сторону от \(A\)), если это расстояние меньше \(AH\), то есть \(a < c\); при \(a \ge c\) на луче остаётся одна точка (вторая совпадает с \(A\) при \(a = c\) или лежит на продолжении луча при \(a > c\)).

Случай 2: \(\alpha \ge 90^\circ\). Тогда \(H\) лежит на продолжении луча за точку \(A\) (или совпадает с \(A\)), и при движении точки по лучу \(AC\) от \(A\) расстояние до \(B\) растёт от \(c\). Поэтому точка \(C\) есть, только если \(a > c\), и она одна.

Проверка алгебраически. По теореме косинусов для \(b = AC\): \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\), то есть \(b^2 - 2c\cos\alpha \cdot b + (c^2 - a^2) = 0\), откуда \(b = c\cos\alpha \pm \sqrt{a^2 - c^2\sin^2\alpha}\). Число решений — число положительных корней; произведение корней равно \(c^2 - a^2\), сумма \(2c\cos\alpha\) — это даёт те же условия.

Вывод (пункт а). Решение есть, если \(\alpha < 90^\circ\) и \(a \ge c\sin\alpha\), или \(\alpha \ge 90^\circ\) и \(a > c\).

Строим угол \(A\), откладываем \(AB = c\) и ищем точки пересечения окружности с центром \(B\) радиуса \(a\) с лучом \(AC\) (кроме самой точки \(A\)). Расстояние от \(B\) до прямой \(AC\) равно \(c\sin\alpha\).

1. \(\alpha < 90^\circ\), \(a = c\sin\alpha\): окружность касается прямой \(AC\) в точке \(H\) — основании перпендикуляра, \(H\) лежит на луче. Одна точка \(C = H\), треугольник прямоугольный с прямым углом \(C\).

2. \(\alpha < 90^\circ\), \(a = c\): вторая точка пересечения совпадает с \(A\) и не годится; остаётся \(C\) с \(AC = 2c\cos\alpha\) — равнобедренный треугольник с \(BA = BC\).

3. \(\alpha < 90^\circ\), \(a > c\): одна точка пересечения лежит на луче \(AC\), другая — на его продолжении за точку \(A\); годится одна.

4. \(\alpha \ge 90^\circ\), \(a > c\): расстояние от \(B\) до точек луча растёт от \(c\), поэтому точка \(C\) на луче ровно одна.

По формуле \(AC = c\cos\alpha \pm \sqrt{a^2 - c^2\sin^2\alpha}\) (теорема косинусов) это те случаи, когда положительный корень один: корни совпадают (\(a = c\sin\alpha\)) или их произведение \(c^2 - a^2 \le 0\).

Окружность с центром \(B\) радиуса \(a\) пересекает прямую не более чем в двух точках, поэтому решений не больше двух. Для двух решений обе точки должны лежать на луче \(AC\) и быть отличны от \(A\).

При \(\alpha \ge 90^\circ\) расстояние от \(B\) до точек луча \(AC\) растёт от \(c\), двух точек на одном расстоянии нет. При \(\alpha < 90^\circ\) основание перпендикуляра \(H\) лежит на луче, \(AH = c\cos\alpha\), \(BH = c\sin\alpha\). Две точки пересечения \(C_1\) и \(C_2\) существуют при \(a > c\sin\alpha\) и удалены от \(H\) на \(\sqrt{a^2 - c^2\sin^2\alpha}\). Обе на луче, если \(\sqrt{a^2 - c^2\sin^2\alpha} < c\cos\alpha\), то есть \(a^2 < c^2\), \(a < c\).

Итак, при \(\alpha < 90^\circ\) и \(c\sin\alpha < a < c\) получаются два треугольника \(ABC_1\) и \(ABC_2\). Они не равны: у них разные стороны \(AC_{1,2} = c\cos\alpha \pm \sqrt{a^2 - c^2\sin^2\alpha}\), угол \(C\) в одном острый, в другом — тупой (углы \(AC_1B\) и \(AC_2B\) в сумме дают \(180^\circ\), так как треугольник \(BC_1C_2\) равнобедренный).

Пример: \(\alpha = 30^\circ\), \(c = 6\), \(a = 4\). Тогда \(c\sin\alpha = 3 < 4 < 6\) — два решения, \(AC = 3\sqrt3 \pm \sqrt7\).

1. \(\alpha < 90^\circ\), \(a < c\sin\alpha\): радиус окружности с центром \(B\) меньше расстояния \(c\sin\alpha\) от \(B\) до прямой \(AC\) — окружность не доходит до прямой, точки \(C\) нет. Это видно и по теореме синусов: \(\sin C = \dfrac{c\sin\alpha}{a} > 1\), что невозможно.

2. \(\alpha \ge 90^\circ\), \(a \le c\): все точки луча \(AC\), кроме \(A\), удалены от \(B\) больше чем на \(c\) (в треугольнике с прямым или тупым углом \(A\) против этого угла лежит наибольшая сторона, \(BC > AB\)). Значит, при \(a \le c\) точки \(C\) нет; при \(a = c\) окружность проходит только через \(A\), а это вырожденный случай.

Во всех остальных случаях решение есть (пункты а–в).