Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Исследовательские задачи, задание 2

Условие (кратко)

Исследовательская задача: окружности Аполлония и их свойства (задачи 1070, 1388). Множество точек M, для которых AM = k·BM (k > 0, k ≠ 1).

Решение

Дано

точки $$A$$ и $$B$$
$$AB = d$$
число $$k > 0$$
$k \ne 1$

Найти

множество точек $$M$$
для которых $AM = k \cdot BM$
и его свойства

1. Вывод уравнения (метод координат, как в задаче 1070). Введём систему координат: $$A(0; 0)$$ , $$B(d; 0)$$ , $$M(x; y)$$ . Условие $$AM^2 = k^2 BM^2$$ :

x^2 + y^2 = k^2\big((x - d)^2 + y^2\big).

Раскроем скобки и разделим на

k^2 - 1 \ne 0

:

x^2 + y^2 - \frac{2k^2 d}{k^2 - 1}\,x + \frac{k^2 d^2}{k^2 - 1} = 0.

Выделим полный квадрат:

\left(x - \frac{k^2 d}{k^2 - 1}\right)^2 + y^2 = \frac{k^2 d^2}{(k^2 - 1)^2}.

Это уравнение окружности с центром

O\left(\dfrac{k^2 d}{k^2 - 1}; 0\right)

и радиусом

r = \dfrac{kd}{|k^2 - 1|}

— окружность Аполлония. Каждая её точка удовлетворяет условию (преобразования обратимы). При

\(k = 1\)

множество — серединный перпендикуляр к

\(AB\)

.

2. Свойства.

а) Центр $$O$$ лежит на прямой $$AB$$ вне отрезка $$AB$$ : при $$k > 1$$ — за точкой $$B$$ , при $$k < 1$$ — за точкой $$A$$ . Окружность охватывает ту из точек, к которой точки $$M$$ ближе.

б) Окружность пересекает прямую $$AB$$ в точках $P\left(\dfrac{kd}{k + 1}; 0\right)$ и $Q\left(\dfrac{kd}{k - 1}; 0\right)$ : $$AP : PB = k$$ (точка делит $$AB$$ изнутри) и $$AQ : QB = k$$ (точка на продолжении). $$PQ$$ — диаметр.

в) Для точки $$M$$ окружности вне прямой $$AB$$ : $$MP$$ — биссектриса угла $$AMB$$ , $$MQ$$ — биссектриса смежного с ним угла (по свойству биссектрисы $$AP : PB = AM : MB$$ ), поэтому $\angle PMQ = 90^\circ$ — ещё одно объяснение, почему $$PQ$$ — диаметр.

г) $OA \cdot OB = r^2$ . При $$k > 1$$ $OA = \dfrac{k^2 d}{k^2 - 1}$ , $OB = \dfrac{d}{k^2 - 1}$ , произведение $\dfrac{k^2 d^2}{(k^2 - 1)^2} = r^2$ ; при $$k < 1$$ так же.

д) (задача 1388 б) Окружность Аполлония пересекает любую окружность $\omega$ , проходящую через $$A$$ и $$B$$ , под прямым углом. Пусть $$M$$ — их общая точка, $$O_1$$ — центр $\omega$ . Если прямая $$OM$$ пересекает $\omega$ ещё в точке $$M'$$ , то по теореме о секущих $OM \cdot OM' = OA \cdot OB = r^2 = OM^2$ , откуда $$OM' = OM$$ и $$M' = M$$ . Значит, $$OM$$ — касательная к $\omega$ , и $OM \perp O_1M$ : радиусы двух окружностей в точке пересечения перпендикулярны.

3. Пример применения. $$AB = 6$$ , $$AM = 2BM$$ . Тогда $r = \dfrac{2 \cdot 6}{4 - 1} = 4$ , центр — на луче $$AB$$ на расстоянии $\dfrac{4 \cdot 6}{3} = 8$ от $$A$$ ; $$P$$ и $$Q$$ — на расстояниях 4 и 12 от $$A$$ . Наибольшая площадь треугольника $$ABM$$ с $$AM = 2BM$$ — когда высота равна радиусу: $S = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 4 = 12$ .

Ответ

Множество точек M с AM : BM = k (k ≠ 1) — окружность радиуса k·AB/|k² − 1| с центром на прямой AB; её диаметр соединяет точки, делящие AB в отношении k изнутри и снаружи

Почему так

Условие AM² = k²·BM² в координатах приводится к уравнению окружности; её свойства следуют из свойства биссектрисы и теоремы о секущих.

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задание 2

Задача 1