Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Исследовательские задачи, задание 3

Условие (кратко)

Исследовательская задача: использование движений в задачах на доказательство (задачи 1290–1292, 1411–1416).

Решение

План исследования.

Ищем в фигуре равные части: равные и параллельные отрезки подсказывают параллельный перенос, равные отрезки с общим концом под известным углом — поворот, части, симметричные относительно точки или прямой, — центральную или осевую симметрию.
Применяем движение и пользуемся тем, что оно сохраняет расстояния и углы, переводит прямую в прямую, а точку пересечения двух линий — в точку пересечения их образов.
Делаем вывод о фигуре: образ точки известен, значит известны расстояния, параллельность, совпадение точек.

Пример 1 (задача 1290, параллельный перенос). На сторонах $$AB$$ и $$DC$$ параллелограмма $$ABCD$$ по одну сторону построены квадраты с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ . Перенос на вектор $\overrightarrow{AD}$ переводит $$A$$ в $$D$$ , $$B$$ в $$C$$ (так как $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ ), значит, квадрат на $$AB$$ — в квадрат на $$DC$$ , а центр $$O_1$$ — в $$O_2$$ . Поэтому $\overrightarrow{O_1O_2} = \overrightarrow{AD}$ : отрезок $$O_1O_2$$ равен и параллелен $$AD$$ .

Пример 2 (задача 1292, поворот). Равносторонние треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ вписаны в окружность с центром $$O$$ . Поворот вокруг $$O$$ на $120^\circ$ переводит $A \to B \to C$ и $A_1 \to B_1 \to C_1$ , значит, прямую $$AA_1$$ — в $$BB_1$$ , а $$BB_1$$ — в $$CC_1$$ . Поэтому прямые либо все проходят через $$O$$ , либо попарно пересекаются под углом $60^\circ$ и образуют равносторонний треугольник.

Пример 3 (задача 1416, центральная симметрия). Вершины параллелограмма $$KLMN$$ лежат на сторонах $$AB$$ , $$BC$$ , $$CD$$ , $$DA$$ параллелограмма $$ABCD$$ . Пусть $$O'$$ — точка пересечения диагоналей $$KLMN$$ . Симметрия относительно $$O'$$ переводит $$K$$ в $$M$$ , $$L$$ в $$N$$ , прямую $$AB$$ — в параллельную ей прямую через $$M$$ , то есть в $$CD$$ , а прямую $$BC$$ — в $$DA$$ . Тогда $$B$$ (общая точка $$AB$$ и $$BC$$ ) переходит в $$D$$ , значит, $$O'$$ — середина $$BD$$ , то есть точка пересечения диагоналей $$ABCD$$ .

Пример 4 (задача 1411). Движение $$g$$ меняет местами точки $$A$$ и $$B$$ . Введём координаты: середина $$O$$ отрезка $$AB$$ — начало, прямая $$AB$$ — ось абсцисс. Движение переводит отрезок $$AB$$ в $$BA$$ , а середину — в середину, поэтому $$O$$ остаётся на месте. Если после $$g$$ выполнить центральную симметрию относительно $$O$$ , получится движение, оставляющее $$A$$ и $$B$$ на месте; такое движение — либо тождественное, либо симметрия относительно прямой $$AB$$ (точка $$M$$ переходит в точку на тех же расстояниях от $$A$$ и $$B$$ ). В первом случае $$g$$ — центральная симметрия, во втором $$g$$ : $(x; y) \to (-x; y)$ — осевая симметрия относительно серединного перпендикуляра к $$AB$$ .

Ещё результаты этого типа: два равных отрезка $$AB$$ и $$A_1B_1$$ переводятся друг в друга ровно двумя движениями (1412); параллелограммы равны, если равны их диагонали и угол между ними (1413); трапеции равны, если равны их основания и боковые стороны (1414); треугольники равны по двум неравным сторонам и разности противолежащих углов (1415). Во всех случаях равенство доказывают, строя движение, которое совмещает фигуры.

Ответ

Метод: найти движение (перенос, поворот, симметрию), которое переводит одну часть фигуры в другую, и вывести нужное равенство, параллельность или совпадение точек из того, что движение сохраняет расстояния и углы

Почему так

Движение сохраняет расстояния, углы и прямые, поэтому образ известной части фигуры даёт информацию о другой её части.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Задание 3

Задача 1