Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Исследовательские задачи, задание 4

Условие (кратко)

Исследовательская задача: использование движений в задачах на построение (задачи 1293–1295, 1417–1423).

Решение

План исследования.

Анализ. Считаем фигуру построенной. Ищем движение $$g$$ , которое переводит одну искомую точку $$X$$ в другую искомую точку $$Y$$ : $$Y = g(X)$$ .
Если $$X$$ лежит на известной линии $$F_1$$ , то $$Y$$ лежит на её образе $$g(F_1)$$ . Если ещё известно, что $$Y$$ лежит на линии $$F_2$$ , то $$Y$$ — точка пересечения $$g(F_1)$$ и $$F_2$$ . Её можно построить.
Построение образа $$g(F_1)$$ (образ прямой — прямая, окружности — окружность того же радиуса), затем точки $$Y$$ , затем $X = g^{-1}(Y)$ и остальной фигуры.
Исследование: число решений — число точек пересечения $$g(F_1)$$ с $$F_2$$ (с учётом разных движений, например поворота в обе стороны).

Пример 1 (задача 1293, центральная симметрия). Через точку $$O$$ провести прямую, отрезок которой между пересекающимися прямыми $$a$$ и $$b$$ делится точкой $$O$$ пополам. Концы отрезка симметричны относительно $$O$$ . Строим прямую $$a'$$ , симметричную $$a$$ относительно $$O$$ ; её точка пересечения с $$b$$ — один конец $$Y$$ , второй конец симметричен ему. Прямая $$OY$$ — искомая; $a' \parallel a$ , поэтому $$a'$$ пересекает $$b$$ в одной точке, решение единственное.

Пример 2 (задача 1295, поворот). Построить равносторонний треугольник $$ABC$$ с данной вершиной $$A$$ , $$B$$ на прямой $$b$$ , $$C$$ на прямой $$c$$ ( $b \parallel c$ ). Поворот вокруг $$A$$ на $60^\circ$ переводит $$B$$ в $$C$$ . Значит, $$C$$ — точка пересечения прямой $$c$$ с образом $$b_1$$ прямой $$b$$ . Поворот возможен в двух направлениях — два решения.

Пример 3 (задача 1423, поворот на $90^\circ$ ). Построить квадрат $$ABCD$$ с данной вершиной $$A$$ , $$B$$ на данной прямой $$l$$ , $$D$$ на данной окружности $\omega$ . Поворот вокруг $$A$$ на $90^\circ$ переводит $$B$$ в $$D$$ , поэтому $$D$$ лежит на прямой $$l_1$$ — образе $$l$$ . Точки пересечения $$l_1$$ и $\omega$ дают $$D$$ , затем $$B$$ — поворотом обратно, $$C$$ — четвёртая вершина. В каждом направлении поворота 0, 1 или 2 точки — всего не больше четырёх решений.

Пример 4 (задача 1420, треугольник по трём медианам). Пусть $$O$$ — точка пересечения медиан, $$O_1$$ — точка, симметричная $$O$$ относительно середины $$AC$$ . Тогда $$AOCO_1$$ — параллелограмм, и в треугольнике $$AOO_1$$ стороны равны $\frac23 m_a$ , $\frac23 m_b$ , $\frac23 m_c$ . Строим этот треугольник по трём сторонам, затем восстанавливаем $$C$$ , середину $$AC$$ и вершину $$B$$ на продолжении $$O_1O$$ . Решение есть, если из отрезков $$m_a$$ , $$m_b$$ , $$m_c$$ можно составить треугольник.

Так же решаются 1294 и 1421 (перенос стороны или диагонали трапеции), 1417 (осевая симметрия относительно данной прямой), 1418, 1419 (центральная симметрия), 1422 (перенос на вектор $\overrightarrow{AB}$ ).

Ответ

Метод: найти движение, переводящее одну искомую точку в другую; тогда вторая точка — пересечение образа известной линии с другой известной линией; число решений — число точек пересечения

Почему так

Образ прямой или окружности при движении строится циркулем и линейкой, поэтому задача сводится к пересечению двух известных линий.

Подробнее — в теме «Применение движений к решению задач».

Задание 4

Задача 1