Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., Исследовательские задачи, задание 5

Условие (кратко)

Исследовательская задача: пропорциональные отрезки и метод масс. Использование центра масс системы точек для решения задач и доказательства теорем.

Решение

1. Определение. Даны точки $A_1, \dots, A_n$ с положительными массами $m_1, \dots, m_n$ . Центр масс системы — точка $$Z$$ , для которой

m_1\overrightarrow{ZA_1} + m_2\overrightarrow{ZA_2} + \dots + m_n\overrightarrow{ZA_n} = \vec{0}.

2. Формула. Возьмём любую точку $$O$$ и запишем $\overrightarrow{ZA_i} = \overrightarrow{OA_i} - \overrightarrow{OZ}$ . Подставим и обозначим $M = m_1 + \dots + m_n$ :

\overrightarrow{OZ} = \frac{m_1\overrightarrow{OA_1} + \dots + m_n\overrightarrow{OA_n}}{M}.

Значит, центр масс существует и единственен. В координатах:

x_Z = \dfrac{m_1x_1 + \dots + m_nx_n}{M}

, так же для

\(y_Z\)

.

3. Правило рычага. Для двух точек $m_A\overrightarrow{ZA} + m_B\overrightarrow{ZB} = \vec{0}$ : векторы $\overrightarrow{ZA}$ и $\overrightarrow{ZB}$ противоположно направлены, $$Z$$ лежит на отрезке $$AB$$ и $$AZ : ZB = m_B : m_A$$ .

4. Правило группировки. Разобьём точки на две группы с суммарными массами $$M_1$$ , $$M_2$$ и центрами масс $$Z_1$$ , $$Z_2$$ . Сумма в формуле разбивается на две части: $M\,\overrightarrow{OZ} = M_1\overrightarrow{OZ_1} + M_2\overrightarrow{OZ_2}$ . Значит, $$Z$$ — центр масс двух точек $$Z_1$$ (масса $$M_1$$ ) и $$Z_2$$ (масса $$M_2$$ ) и лежит на отрезке $$Z_1Z_2$$ , $$Z_1Z : ZZ_2 = M_2 : M_1$$ .

5. Пример: медианы треугольника. Поместим в вершины $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ массы по 1. Центр масс $$B$$ и $$C$$ — середина $$A_1$$ стороны $$BC$$ (масса 2). По правилу группировки $$Z$$ лежит на медиане $$AA_1$$ и $$AZ : ZA_1 = 2 : 1$$ . Группируя иначе, получаем, что $$Z$$ лежит на двух других медианах и тоже делит их в отношении $$2 : 1$$ . Итак, медианы пересекаются в одной точке, она делит каждую в отношении $$2 : 1$$ от вершины, и $\overrightarrow{OZ} = \dfrac13(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ ; в координатах $x_Z = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}$ .

6. Пример: пропорциональные отрезки. В треугольнике $$ABC$$ точка $$K$$ на $$BC$$ , $$BK : KC = 1 : 2$$ , $$M$$ — середина $$AC$$ . В каком отношении отрезок $$BM$$ делит $$AK$$ ? Подберём массы так, чтобы $$K$$ и $$M$$ были центрами масс: $$m_B = 2$$ , $$m_C = 1$$ ( $$BK : KC = m_C : m_B$$ ), $$m_A = 1$$ ( $$M$$ — середина $$AC$$ ). Группа $\{B, C\}$ даёт $$K$$ с массой 3, вместе с $$A$$ : $$AZ : ZK = 3 : 1$$ . Группа $\{A, C\}$ даёт $$M$$ с массой 2, вместе с $$B$$ : $$BZ : ZM = 2 : 2 = 1 : 1$$ . Точка $$Z$$ лежит и на $$AK$$ , и на $$BM$$ , значит, это их точка пересечения: $$BM$$ делит $$AK$$ в отношении $$3 : 1$$ от $$A$$ , а $$AK$$ делит $$BM$$ пополам. Проверка в координатах при $$B(0; 0)$$ , $$C(3; 0)$$ , $$A(0; 3)$$ : $$K(1; 0)$$ , $$M(1{,}5; 1{,}5)$$ , точка пересечения $$Z(0{,}75; 0{,}75)$$ — середина $$BM$$ и делит $$AK$$ в отношении $$3 : 1$$ .

Ответ

Центр масс Z точек Aᵢ с массами mᵢ: OZ = (m₁·OA₁ + … + mₙ·OAₙ)/(m₁ + … + mₙ) (векторы); группу точек можно заменить её центром масс с суммарной массой — отсюда, например, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1

Почему так

Центр масс задаётся векторным равенством, из него выводятся правило рычага и правило группировки, которые дают отношения отрезков.

Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».

Задание 5

Задача 1