Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 100

Упражнение 1098 к § 100

§ 100. Синус, косинус, тангенс, котангенс · тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Задача 1

Условие (кратко)

Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения 0,3; 1/3; −1/3; 1 2/3; −2,8? Ответ обоснуйте.

Решение

Дано

точка $$M(x; y)$$ единичной полуокружности

Найти

какие из чисел $$0{,}3$$ ; $\dfrac{1}{3}$ ; $-\dfrac{1}{3}$ ; $1\dfrac{2}{3}$ ; $$-2{,}8$$ могут быть её абсциссой

Единичная полуокружность лежит в первом и втором квадрантах, её радиус 1 и центр в начале координат. Поэтому абсцисса её точки — это $\cos \alpha$ , и она заключена в промежутке $-1 \le x \le 1$ , причём каждое число из этого промежутка является абсциссой ровно одной точки полуокружности.

$$0{,}3$$ , $\dfrac{1}{3}$ и $-\dfrac{1}{3}$ лежат между $$-1$$ и $$1$$ — могут.

$1\dfrac{2}{3} > 1$ и $$-2{,}8 < -1$$ — не могут: такая точка была бы дальше 1 от начала координат.

Ответ

Может 0,3; 1/3; −1/3. Не может 1 2/3 и −2,8

Почему так

Абсцисса точки единичной полуокружности равна cos α и лежит в промежутке от −1 до 1.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 2

Условие (кратко)

Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения 0,6; 1/7; −0,3; 7; 1,002? Ответ обоснуйте.

Решение

Дано

точка $$M(x; y)$$ единичной полуокружности

Найти

какие из чисел $$0{,}6$$ ; $\dfrac{1}{7}$ ; $$-0{,}3$$ ; $$7$$ ; $$1{,}002$$ могут быть её ординатой

Полуокружность расположена в первом и втором квадрантах (над осью $$Ox$$ , включая точки $$(1; 0)$$ и $$(-1; 0)$$ ), её радиус 1. Значит, ордината её точки — это $\sin \alpha$ , и $0 \le y \le 1$ .

$$0{,}6$$ и $\dfrac{1}{7}$ лежат в промежутке от 0 до 1 — могут.

$$-0{,}3 < 0$$ — не может: точки с отрицательной ординатой лежат ниже оси $$Ox$$ , а полуокружность — выше. $$7 > 1$$ и $$1{,}002 > 1$$ — не могут: ордината точки не больше радиуса.

Ответ

Может 0,6 и 1/7. Не может −0,3; 7; 1,002

Почему так

Ордината точки единичной полуокружности равна sin α и лежит в промежутке от 0 до 1.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки