Какой знак у \cos 100^\circ?

Косинус 100° не определён

Какие утверждения верны?

\operatorname{tg} 140^\circ < 0

Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°

Коротко о главном

Синус и косинус любого угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ — это координаты точки $$M$$ единичной полуокружности, для которой $\angle AOM = \alpha$ :

\sin \alpha = y, \quad \cos \alpha = x, \quad \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

У тупого угла синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.

Подробное объяснение

В 8 классе синус и косинус определяли через прямоугольный треугольник — как отношения катетов к гипотенузе. Но у тупого угла прямоугольного треугольника нет, а в треугольнике тупой угол встречается постоянно. Чтобы говорить о $\sin 120^\circ$ , нужно новое определение, которое для острых углов совпадёт со старым.

Единичная полуокружность

Проведём в системе координат полуокружность радиуса 1 с центром $$O$$ в начале координат — над осью $$Ox$$ , в первом и втором квадрантах. Её концы — $$A(1; 0)$$ и $$B(-1; 0)$$ , верхняя точка — $$C(0; 1)$$ . Из $$O$$ проведём луч под углом $\alpha$ к положительной полуоси $$Ox$$ ; он пересечёт полуокружность в точке $$M(x; y)$$ .

Синус угла $\alpha$ — ордината $$y$$ точки $$M$$ , косинус — её абсцисса $$x$$ . Для острого угла это то же, что раньше: в прямоугольном треугольнике $$ODM$$ гипотенуза $$OM = 1$$ , катет $$MD = y$$ , катет $$OD = x$$ .

Отсюда сразу видно:

$0 \le \sin \alpha \le 1$ и $-1 \le \cos \alpha \le 1$ ;
у острого угла косинус положителен, у тупого — отрицателен, у прямого равен нулю;
$\sin 0^\circ = 0$ , $\cos 0^\circ = 1$ ; $\sin 90^\circ = 1$ , $\cos 90^\circ = 0$ ; $\sin 180^\circ = 0$ , $\cos 180^\circ = -1$ .

Тангенс — отношение $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ , он не определён при $\alpha = 90^\circ$ . Котангенс — $\operatorname{ctg} \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ , он не определён при $\alpha = 0^\circ$ и $180^\circ$ . Так как синус не бывает отрицательным, знак тангенса и котангенса — это знак косинуса.

Основное тригонометрическое тождество

Точка $$M$$ лежит на окружности $$x^2 + y^2 = 1$$ . Подставим $x = \cos \alpha$ , $y = \sin \alpha$ :

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

Теперь это верно для всех углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ . По тождеству одну функцию находят через другую. Важная тонкость: синус по косинусу находится однозначно (берём корень со знаком «плюс»), а косинус по синусу — с точностью до знака, потому что одинаковый синус бывает у острого угла и у тупого.

Формулы приведения

Отразим точку $$M$$ симметрично относительно оси $$Oy$$ — получим $$M'(-x; y)$$ , и луч $$OM'$$ составит с $$OA$$ угол $180^\circ - \alpha$ . Ордината та же, абсцисса сменила знак:

\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha, \quad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha.

Ещё две формулы для острых углов знакомы по прямоугольному треугольнику: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ , $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ . Строго формулы приведения доказывают в курсе алгебры. С ними любой тупой угол сводится к острому: $\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Координаты точки через угол

Пусть точка $$A(x; y)$$ лежит не ниже оси $$Ox$$ , а луч $$OA$$ образует с положительной полуосью $$Ox$$ угол $\alpha$ . Точка $$M$$ луча на единичной полуокружности имеет координаты $(\cos \alpha; \sin \alpha)$ , а вектор $\overrightarrow{OA}$ в $$OA$$ раз длиннее вектора $\overrightarrow{OM}$ и сонаправлен с ним. Поэтому

x = OA \cdot \cos \alpha, \quad y = OA \cdot \sin \alpha.

И обратно: зная координаты, находят $OA = \sqrt{x^2 + y^2}$ и $\cos \alpha = \dfrac{x}{OA}$ .

Как решать задачи

Тупой угол $\alpha$ замените острым $180^\circ - \alpha$ : синус сохраните, у косинуса и тангенса смените знак.
Синус по косинусу — $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$ , всегда со знаком «плюс».
Косинус по синусу — $\pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ ; знак выбирайте по условию (острый угол — «плюс», тупой — «минус»). Если условия нет, в ответе оба знака.
Тангенс — делением синуса на косинус, знак тангенса совпадает со знаком косинуса.
Координаты точки по углу — $x = OA \cdot \cos \alpha$ , $y = OA \cdot \sin \alpha$ ; угол по координатам — через $\cos \alpha = \dfrac{x}{OA}$ .

Разобранные примеры

База

Значение выражения

Условие

Вычислите $2\sin 150^\circ - \cos 180^\circ$ .

Решение

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ , $\cos 180^\circ = -1$ . Получаем $2 \cdot \dfrac{1}{2} - (-1) = 1 + 1 = 2$ .

Ответ: 2

Средний

Косинус и тангенс тупого угла

Условие

Угол $\alpha$ тупой и $\sin \alpha = 0{,}8$ . Найдите $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$ .

Дано

$\sin \alpha = 0{,}8$
$90^\circ < \alpha < 180^\circ$

Найти

$\cos \alpha$
$\operatorname{tg} \alpha$

Решение

По основному тождеству $\cos^2 \alpha = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$ . Угол тупой, косинус отрицателен, поэтому $\cos \alpha = -0{,}6$ .

$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{0{,}8}{-0{,}6} = -\dfrac{4}{3}$ .

Ответ: cos α = −0,6; tg α = −4/3

Сложный

Угол по координатам точки

Условие

Точка $$A$$ имеет координаты $(-3; 3\sqrt{3})$ . Найдите длину отрезка $$OA$$ и угол между лучом $$OA$$ и положительной полуосью $$Ox$$ .

Дано

$A(-3; 3\sqrt{3})$

Найти

$$OA$$ и угол $\alpha$

Решение

$OA = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = 6$ .

Из $x = OA \cdot \cos \alpha$ получаем $\cos \alpha = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}$ . Косинус отрицателен — угол тупой. $\cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$ , значит, $\alpha = 120^\circ$ .

Проверка по синусу: $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ — совпадает с ординатой.

Ответ: OA = 6, угол 120°

Типичные ошибки

Ставят минус перед синусом тупого угла

Почему неверно

По привычке «тупой угол — значит, всё отрицательное» пишут $\sin 150^\circ = -\dfrac{1}{2}$ . Но синус — ордината точки верхней полуокружности, а все её точки лежат не ниже оси $$Ox$$ .

Как правильно

Для углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ синус всегда неотрицателен: $\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}$ . Отрицательными у тупого угла бывают только косинус, тангенс и котангенс.

Забывают сменить знак у косинуса в формуле приведения

Почему неверно

Пишут $\cos 120^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ , перенося формулу для синуса на косинус. При отражении точки относительно оси $$Oy$$ абсцисса меняет знак.

Как правильно

$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ , поэтому $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ . Проверка — тупой угол должен давать отрицательный косинус.

Находят косинус по синусу только со знаком «плюс»

Почему неверно

Из $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$ сразу пишут $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Но синус $\dfrac{1}{2}$ у двух углов, $30^\circ$ и $150^\circ$ , и косинусы у них противоположны.

Как правильно

$\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ . Если в условии сказано, острый угол или тупой, выбирайте один знак; если нет — в ответе оба значения.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Вычислите $\sin 120^\circ + \cos 150^\circ$ .

Подсказка

Сведите углы к острым формулами приведения — $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$ , $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ .

Решение

$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Сумма равна $$0$$ .

Ответ

0

База Задача 2

Точка $$M$$ единичной полуокружности имеет абсциссу $$-0{,}6$$ . Найдите синус и косинус угла $$AOM$$ , где $$A(1; 0)$$ .

Подсказка

Косинус — это абсцисса точки, синус — ордината, а точка лежит на окружности $$x^2 + y^2 = 1$$ .

Решение

$\cos \angle AOM = -0{,}6$ . Ордината $y = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$ (она неотрицательна, так как точка на верхней полуокружности), значит, $\sin \angle AOM = 0{,}8$ .

Ответ

sin = 0,8; cos = −0,6

Средний Задача 3

Известно, что $\cos \alpha = -\dfrac{5}{13}$ . Найдите $\sin \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$ .

Подсказка

Основное тождество даёт $\sin^2 \alpha$ ; синус угла от $0^\circ$ до $180^\circ$ неотрицателен.

Решение

$\sin^2 \alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$ , $\sin \alpha = \dfrac{12}{13}$ . $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{12}{13} \div \left(-\dfrac{5}{13}\right) = -\dfrac{12}{5}$ .

Ответ

sin α = 12/13, tg α = −12/5

Средний Задача 4

Луч $$OA$$ образует с положительной полуосью $$Ox$$ угол $120^\circ$ , $$OA = 6$$ . Найдите координаты точки $$A$$ .

Подсказка

$x = OA \cdot \cos \alpha$ , $y = OA \cdot \sin \alpha$ .

Решение

$x = 6 \cdot \cos 120^\circ = 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -3$ , $y = 6 \cdot \sin 120^\circ = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ .

Ответ

A(−3; 3√3)

Сложный Задача 5

Углы $\alpha$ и $\beta$ смежные, угол $\alpha$ острый и $\sin \alpha = 0{,}6$ . Найдите $\cos \beta$ и $\operatorname{tg} \beta$ .

Подсказка

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$ , значит, $\beta = 180^\circ - \alpha$ .

Решение

Угол $\alpha$ острый, поэтому $\cos \alpha = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$ . По формулам приведения $\sin \beta = \sin \alpha = 0{,}6$ , $\cos \beta = -\cos \alpha = -0{,}8$ . Тогда $\operatorname{tg} \beta = \dfrac{0{,}6}{-0{,}8} = -0{,}75$ .

Ответ

cos β = −0,8; tg β = −0,75

Сложный Задача 6

Докажите, что для любого угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$ , кроме $90^\circ$ , верно равенство $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$ .

Подсказка

Запишите тангенс как $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и приведите к общему знаменателю.

Решение

При $\alpha \ne 90^\circ$ имеем $\cos \alpha \ne 0$ , и $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = 1 + \dfrac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ . По основному тригонометрическому тождеству числитель равен 1, что и требовалось доказать.

Ответ

Равенство доказано

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатом листе полуокружность радиусом 10 клеток (это «единица») и проведите из центра карандаш-луч. Синус — на сколько клеток конец луча поднялся над осью, косинус — на сколько ушёл вправо (влево — с минусом). Поверните карандаш за вертикаль: высота сохраняется, а сдвиг становится отрицательным — вот почему у тупого угла косинус меньше нуля. Вопросы для проверки понимания: 1) Может ли синус угла треугольника быть отрицательным? 2) Почему $\sin 30^\circ = \sin 150^\circ$ ? 3) Как найти координаты точки, если известны расстояние до начала координат и угол? На что обратить внимание. Ребёнок должен связывать знак косинуса с тем, острый угол или тупой, и помнить, что по синусу угол определяется неоднозначно — это пригодится в теореме синусов.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 100	1098, 1099, 1104
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 101	1100, 1101, 1102, 1103
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 102	1105, 1106