Задача 1
Проверьте, что точки M₁(0; 1), M₂(1/2; √3/2), M₃(√2/2; √2/2), M₄(−√3/2; 1/2), A(1; 0), B(−1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите sin, cos и tg углов AOM₁, AOM₂, AOM₃, AOM₄, AOB.
Решение
- точки \(M_1(0; 1)\)
- \(M_2\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
- \(M_3\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
- \(M_4\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \dfrac{1}{2}\right)\)
- \(A(1; 0)\)
- \(B(-1; 0)\)
- синус
- косинус и тангенс углов \(AOM_1\)
- \(AOM_2\)
- \(AOM_3\)
- \(AOM_4\)
- \(AOB\)
-
Точка лежит на единичной полуокружности, если \(x^2 + y^2 = 1\) и \(y \ge 0\). У всех точек ордината неотрицательна. Проверим сумму квадратов: \(M_1\) — \(0 + 1 = 1\); \(M_2\) — \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\); \(M_3\) — \(\dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{4} = 1\); \(M_4\) — \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\); \(A\) и \(B\) — \(1 + 0 = 1\). Все точки лежат на полуокружности.
-
По определению синус угла — ордината точки, косинус — абсцисса, \(\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
\(\angle AOM_1\) — \(\sin = 1\), \(\cos = 0\), тангенс не определён (это угол \(90^\circ\)).
\(\angle AOM_2\) — \(\sin = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos = \dfrac{1}{2}\), \(\operatorname{tg} = \sqrt{3}\) (угол \(60^\circ\)).
\(\angle AOM_3\) — \(\sin = \cos = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\operatorname{tg} = 1\) (угол \(45^\circ\)).
\(\angle AOM_4\) — \(\sin = \dfrac{1}{2}\), \(\cos = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\operatorname{tg} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) (угол \(150^\circ\)).
\(\angle AOB\) — \(\sin = 0\), \(\cos = -1\), \(\operatorname{tg} = 0\) (угол \(180^\circ\)).
Ответ
Синус угла равен ординате точки единичной полуокружности, косинус — её абсциссе, тангенс — их отношению.
Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».