Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 100

Упражнение 1104 к § 100

§ 100. Синус, косинус, тангенс, котангенс · тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Задача 1

Условие (кратко)

Постройте ∠A, если sin A = 2/3.

Решение

Дано: $\sin A = \dfrac{2}{3}$ . Построить: $\angle A$ .

Синус — ордината точки единичной полуокружности. Удобно взять единичный отрезок в 3 клетки (или 3 см), тогда точка полуокружности радиуса 3 должна иметь ординату 2.

Проведите оси координат, примите за единицу отрезок длиной 3 см и постройте циркулем полуокружность радиуса 3 см с центром $$O$$ над осью $$Ox$$ ; отметьте $$A_0(1; 0)$$ — конец полуокружности на положительной полуоси.
Проведите прямую, параллельную оси $$Ox$$ , на расстоянии 2 см над ней (это прямая $y = \dfrac{2}{3}$ в выбранных единицах).
Она пересечёт полуокружность в двух точках $$M$$ и $$M'$$ . Угол $$A_0OM$$ — острый, угол $$A_0OM'$$ — тупой; у обеих точек ордината $\dfrac{2}{3}$ , поэтому синусы обоих углов равны $\dfrac{2}{3}$ .

Задаче удовлетворяют два угла: острый и тупой, дополняющий его до $180^\circ$ (так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ ).

Ответ

Два угла — острый (около 42°) и тупой (около 138°), их сумма 180°

Почему так

Прямая y = sin A пересекает единичную полуокружность в двух точках, если 0 < sin A < 1.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 2

Условие (кратко)

Постройте ∠A, если cos A = 3/4.

Решение

Дано: $\cos A = \dfrac{3}{4}$ . Построить: $\angle A$ .

Косинус — абсцисса точки единичной полуокружности. Возьмём единичный отрезок 4 см.

Проведите оси координат и полуокружность радиуса 4 см с центром $$O$$ над осью $$Ox$$ , отметьте её конец $$A_0$$ на положительной полуоси $$Ox$$ .
На оси $$Ox$$ отложите от $$O$$ вправо 3 см и проведите через эту точку прямую, перпендикулярную оси $$Ox$$ (прямая $x = \dfrac{3}{4}$ ).
Она пересечёт полуокружность в одной точке $$M$$ . Угол $$A_0OM$$ — искомый: абсцисса $$M$$ в выбранных единицах равна $\dfrac{3}{4}$ , то есть $\cos \angle A_0OM = \dfrac{3}{4}$ .

Косинус положителен, поэтому угол острый; такой угол один.

Ответ

Острый угол (около 41°), он единственный

Почему так

Прямая x = cos A пересекает единичную полуокружность ровно в одной точке, поэтому угол по косинусу определяется однозначно.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 3

Условие (кратко)

Постройте ∠A, если cos A = −2/5.

Решение

Дано: $\cos A = -\dfrac{2}{5}$ . Построить: $\angle A$ .

Возьмём единичный отрезок 5 см (или 5 клеток).

Проведите оси координат и полуокружность радиуса 5 см с центром $$O$$ над осью $$Ox$$ , отметьте её конец $$A_0$$ на положительной полуоси $$Ox$$ .
На оси $$Ox$$ отложите от $$O$$ влево 2 см и проведите через эту точку перпендикуляр к оси $$Ox$$ (прямая $x = -\dfrac{2}{5}$ ).
Перпендикуляр пересечёт полуокружность в точке $$M$$ во втором квадранте. Угол $$A_0OM$$ — искомый: $\cos \angle A_0OM = -\dfrac{2}{5}$ .

Косинус отрицателен, поэтому угол тупой; такой угол один.

Ответ

Тупой угол (около 114°), он единственный

Почему так

Косинус тупого угла отрицателен — точка единичной полуокружности лежит во втором квадранте.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки