Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 101

Упражнение 1100 к § 101

§ 101. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения · тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите sin α, если cos α = 1/2.

Решение

Дано

$\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$
$0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти

$\sin \alpha$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ .

Для углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ синус неотрицателен, поэтому $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ответ

sin α = √3/2

Почему так

sin²α + cos²α = 1, а синус угла от 0° до 180° не бывает отрицательным.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите sin α, если cos α = −2/3.

Решение

Дано

$\cos \alpha = -\dfrac{2}{3}$
$0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти

$\sin \alpha$

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$ .

Синус неотрицателен, значит, $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ . Угол $\alpha$ тупой, но синус у него всё равно положителен.

В ответах учебника указано $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ — это опечатка: такое число больше 1 и синусом быть не может; $\dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9} = 1$ , так что верно $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ .

Ответ

sin α = √5/3

Почему так

Знак косинуса не влияет на знак синуса — для углов от 0° до 180° синус всегда неотрицателен.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 3

Условие (кратко)

Найдите sin α, если cos α = −1.

Решение

Дано

$\cos \alpha = -1$

Найти

$\sin \alpha$

$\sin^2 \alpha = 1 - (-1)^2 = 0$ , значит, $\sin \alpha = 0$ . Это угол $\alpha = 180^\circ$ — точка $$B(-1; 0)$$ единичной полуокружности.

Ответ

sin α = 0

Почему так

Из основного тригонометрического тождества sin²α = 1 − cos²α = 0.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки