Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 101

Упражнение 1101 к § 101

§ 101. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения · тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите cos α, если sin α = √3/2.

Решение

Дано

$\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти

$\cos \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ , поэтому $\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$ или $\cos \alpha = -\dfrac{1}{2}$ .

Косинус может быть и положительным (острый угол $60^\circ$ ), и отрицательным (тупой угол $120^\circ$ ) — по синусу угол не определяется однозначно, поэтому подходят оба значения.

Ответ

cos α = ±1/2

Почему так

Синус у острого угла и у тупого угла, дополняющего его до 180°, одинаковый, а косинусы противоположны.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите cos α, если sin α = 1/4.

Решение

Дано

$\sin \alpha = \dfrac{1}{4}$
$0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти

$\cos \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}$ , поэтому $\cos \alpha = \pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ .

Знак «плюс» — если угол острый, знак «минус» — если тупой; по условию это не известно, поэтому оба ответа.

Ответ

cos α = ±√15/4

Почему так

По синусу находится только модуль косинуса — знак зависит от того, острый угол или тупой.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 3

Условие (кратко)

Найдите cos α, если sin α = 0.

Решение

Дано

$\sin \alpha = 0$
$0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$

Найти

$\cos \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0 = 1$ , $\cos \alpha = \pm 1$ . Синус равен нулю у двух углов: $\alpha = 0^\circ$ ( $\cos 0^\circ = 1$ ) и $\alpha = 180^\circ$ ( $\cos 180^\circ = -1$ ).

Ответ

cos α = ±1

Почему так

Синус равен нулю при α = 0° и α = 180°, их косинусы 1 и −1.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки