Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 101

Упражнение 1102 к § 101

§ 101. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения · тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите tg α, если cos α = 1.

Решение

Дано

$\cos \alpha = 1$

Найти

$\operatorname{tg} \alpha$

$\sin^2 \alpha = 1 - 1 = 0$ , $\sin \alpha = 0$ (это угол $0^\circ$ ). Тогда $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{0}{1} = 0$ .

Ответ

tg α = 0

Почему так

Тангенс — отношение синуса к косинусу, синус находим из основного тождества.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите tg α, если cos α = −√3/2.

Решение

Дано

$\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Найти

$\operatorname{tg} \alpha$

$\sin^2 \alpha = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ ; синус неотрицателен, $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$ .

$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{1}{2} \div \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ (это угол $150^\circ$ ).

Ответ

tg α = −√3/3

Почему так

У тупого угла косинус отрицателен, синус положителен, поэтому тангенс отрицателен.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 3

Условие (кратко)

Найдите tg α, если sin α = √2/2 и 0° < α < 90°.

Решение

Дано

$\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$0^\circ < \alpha < 90^\circ$

Найти

$\operatorname{tg} \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ . Угол острый, косинус положителен, $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1$ (это угол $45^\circ$ ).

Ответ

tg α = 1

Почему так

Условие «угол острый» выбирает знак косинуса — плюс.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 4

Условие (кратко)

Найдите tg α, если sin α = 3/5 и 90° < α < 180°.

Решение

Дано

$\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$
$90^\circ < \alpha < 180^\circ$

Найти

$\operatorname{tg} \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ . Угол тупой, косинус отрицателен, $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$ .

$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{3}{5} \div \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{3}{4}$ .

Ответ

tg α = −3/4

Почему так

У тупого угла косинус берём со знаком «минус», поэтому и тангенс отрицателен.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки