Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 102

Упражнение 1105 к § 102

§ 102. Формулы для вычисления координат точки · тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Задача 1

Условие (кратко)

Луч OA образует с положительной полуосью Ox угол α. Найдите координаты точки A, если OA = 3, α = 45°.

Решение

Дано

$$OA = 3$$
$\alpha = 45^\circ$

Найти

координаты точки $$A$$

По формулам $x = OA \cdot \cos \alpha$ , $y = OA \cdot \sin \alpha$ получаем $x = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ , $y = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Ответ

A(3√2/2; 3√2/2)

Почему так

Координаты точки равны x = OA·cos α, y = OA·sin α.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 2

Условие (кратко)

Луч OA образует с положительной полуосью Ox угол α. Найдите координаты точки A, если OA = 1,5, α = 90°.

Решение

Дано

$$OA = 1{,}5$$
$\alpha = 90^\circ$

Найти

координаты точки $$A$$

$x = 1{,}5 \cdot \cos 90^\circ = 1{,}5 \cdot 0 = 0$ , $y = 1{,}5 \cdot \sin 90^\circ = 1{,}5 \cdot 1 = 1{,}5$ . Точка лежит на положительной полуоси $$Oy$$ .

Ответ

A(0; 1,5)

Почему так

При α = 90° луч OA идёт по оси Oy, поэтому абсцисса равна нулю.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 3

Условие (кратко)

Луч OA образует с положительной полуосью Ox угол α. Найдите координаты точки A, если OA = 5, α = 150°.

Решение

Дано

$$OA = 5$$
$\alpha = 150^\circ$

Найти

координаты точки $$A$$

$\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ .

$x = 5 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ , $y = 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 2{,}5$ .

Ответ

A(−5√3/2; 2,5)

Почему так

Для тупого угла косинус отрицателен, поэтому точка A лежит во втором квадранте.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 4

Условие (кратко)

Луч OA образует с положительной полуосью Ox угол α. Найдите координаты точки A, если OA = 1, α = 180°.

Решение

Дано

$$OA = 1$$
$\alpha = 180^\circ$

Найти

координаты точки $$A$$

$x = 1 \cdot \cos 180^\circ = -1$ , $y = 1 \cdot \sin 180^\circ = 0$ . Точка лежит на отрицательной полуоси $$Ox$$ .

Ответ

A(−1; 0)

Почему так

При α = 180° луч OA — отрицательная полуось Ox.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 5

Условие (кратко)

Луч OA образует с положительной полуосью Ox угол α. Найдите координаты точки A, если OA = 2, α = 30°.

Решение

Дано

$$OA = 2$$
$\alpha = 30^\circ$

Найти

координаты точки $$A$$

$x = 2 \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ , $y = 2 \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$ .

Ответ

A(√3; 1)

Почему так

Координаты точки равны x = OA·cos α, y = OA·sin α.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Похожие задачи для тренировки