Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 102

Упражнение 1106 к § 102

§ 102. Формулы для вычисления координат точки · тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите угол между лучом OA и положительной полуосью Ox, если A(2; 2).

Решение

Дано

$$A(2; 2)$$

Найти

угол $\alpha$ между лучом $$OA$$ и положительной полуосью $$Ox$$

$OA = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ . Из формул $x = OA \cdot \cos \alpha$ , $y = OA \cdot \sin \alpha$ получаем $\cos \alpha = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Значит, $\alpha = 45^\circ$ .

Ответ

45°

Почему так

cos α = x/OA, sin α = y/OA, а угол по косинусу на промежутке от 0° до 180° находится однозначно.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите угол между лучом OA и положительной полуосью Ox, если A(0; 3).

Решение

Дано

$$A(0; 3)$$

Найти

угол $\alpha$ между лучом $$OA$$ и положительной полуосью $$Ox$$

$$OA = 3$$ , $\cos \alpha = \dfrac{0}{3} = 0$ , $\sin \alpha = \dfrac{3}{3} = 1$ , поэтому $\alpha = 90^\circ$ — точка лежит на положительной полуоси $$Oy$$ .

Ответ

90°

Почему так

Абсцисса точки равна нулю, значит, cos α = 0 и угол прямой.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 3

Условие (кратко)

Найдите угол между лучом OA и положительной полуосью Ox, если A(−√3; 1).

Решение

Дано

$A(-\sqrt{3}; 1)$

Найти

угол $\alpha$ между лучом $$OA$$ и положительной полуосью $$Ox$$

$OA = \sqrt{3 + 1} = 2$ . $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$ .

Косинус отрицателен — угол тупой. По формуле приведения $\cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , поэтому $\alpha = 150^\circ$ .

Ответ

150°

Почему так

Отрицательная абсцисса точки означает тупой угол; его находят формулой приведения cos(180° − α) = −cos α.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 4

Условие (кратко)

Найдите угол между лучом OA и положительной полуосью Ox, если A(−2√2; 2√2).

Решение

Дано

$A(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$

Найти

угол $\alpha$ между лучом $$OA$$ и положительной полуосью $$Ox$$

$OA = \sqrt{8 + 8} = 4$ . $\cos \alpha = \dfrac{-2\sqrt{2}}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , поэтому $\alpha = 135^\circ$ .

Ответ

135°

Почему так

Косинус угла равен абсциссе точки, делённой на OA; отрицательный косинус даёт тупой угол.

Подробнее — в теме «Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки