Задача 1
(Задание для работы в группе.) Луч света из точки M(8; 3) падает под углом 45° к положительному направлению оси Ox и отражается от неё. Составьте уравнения прямых падающего и отражённого лучей. Где отражённый луч пересечёт экран x = −10?
Решение
- падающий луч проходит через \(M(8; 3)\) под углом \(45^\circ\) к положительному направлению оси \(Ox\)
- отражается от оси \(Ox\); экран — прямая \(x = -10\)
- перпендикулярная оси \(Ox\) в точке \(B(-10; 0)\)
- уравнения прямых лучей и точку пересечения отражённого луча с экраном
-
Падающий луч. Угловой коэффициент \(k = \operatorname{tg} 45^\circ = 1\), уравнение \(y = x + d\). Прямая проходит через \(M(8; 3)\), поэтому \(3 = 8 + d\), \(d = -5\). Уравнение \(y = x - 5\).
-
Точка падения — пересечение с осью \(Ox\), где \(y = 0\), откуда \(x = 5\), точка \(K(5; 0)\). Свет идёт из \(M\) вниз и влево.
-
Отражённый луч. Угол падения равен углу отражения, поэтому отражённая прямая симметрична падающей относительно перпендикуляра к оси \(Ox\) в точке \(K\) и наклонена к оси \(Ox\) под углом \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). Её угловой коэффициент \(\operatorname{tg} 135^\circ = -1\), уравнение \(y = -x + d_1\). Через \(K(5; 0)\) — \(0 = -5 + d_1\), \(d_1 = 5\). Уравнение \(y = 5 - x\).
-
Отражённый луч уходит от \(K\) влево и вверх. При \(x = -10\) получаем \(y = 5 - (-10) = 15\). Точка на экране — \((-10; 15)\).
Ответ
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона; при отражении от оси Ox угол наклона α меняется на 180° − α.
Подробнее — в теме «Угловой коэффициент прямой».