Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
В уравнении прямой \(y = kx + d\) число \(k\) — угловой коэффициент. Он равен тангенсу угла \(\alpha\), который прямая образует с положительным направлением оси \(Ox\):
Подробное объяснение
На дорожных знаках крутизну подъёма пишут в процентах: «12 %» значит, что на 100 м по горизонтали дорога поднимается на 12 м. Отношение подъёма к горизонтальному пути — это тангенс угла наклона. В уравнении прямой ту же роль играет угловой коэффициент.
Откуда берётся \(k = \operatorname{tg} \alpha\)
Уравнение прямой, не параллельной оси \(Oy\), можно записать как \(y = kx + d\). Число \(d\) — ордината точки \(A(0; d)\), где прямая пересекает ось \(Oy\). Возьмём на прямой точку \(C(x; y)\) правее \(A\) и точку \(B(x; d)\) на одной высоте с \(A\).
Треугольник \(ABC\) прямоугольный, \(AB = x\), \(BC = y - d\). Угол при вершине \(A\) равен углу наклона прямой к оси \(Ox\) (это соответственные углы при параллельных прямых \(AB\) и \(Ox\)). Поэтому
Сравниваем с \(y = kx + d\) и получаем \(k = \operatorname{tg} \alpha\). Тот же результат верен и для тупого угла наклона — тогда тангенс отрицателен.
Что показывает угловой коэффициент
- \(k > 0\) — прямая идёт вверх слева направо, угол наклона острый;
- \(k < 0\) — прямая идёт вниз, угол тупой;
- \(k = 0\) — прямая параллельна оси \(Ox\) (\(y = d\)), угол \(0^\circ\);
- чем больше \(|k|\), тем круче прямая.
Прямая, параллельная оси \(Oy\), имеет уравнение \(x = c\). Угол наклона у неё \(90^\circ\), тангенс не определён, и углового коэффициента у такой прямой нет.
Угол наклона зависит только от \(k\). Поэтому прямые с одинаковым \(k\) наклонены одинаково — они параллельны (или совпадают). Свободный член \(d\) лишь сдвигает прямую вверх или вниз.
Угловой коэффициент по двум точкам
Если прямая проходит через точки \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\), где \(x_1 \ne x_2\), то
— это «подъём», делённый на «горизонтальный путь». Порядок точек не важен: если поменять их местами, у числителя и знаменателя сменятся знаки, а дробь останется прежней.
Связь с дорожным уклоном
Вернёмся к знаку «12 %». Уклон \(0{,}12\) — это и есть угловой коэффициент дороги на чертеже, \(\operatorname{tg} \alpha = 0{,}12\). Угол при этом всего около \(7^\circ\), хотя подъём кажется крутым. Для малых углов тангенс почти пропорционален углу, а дальше растёт всё быстрее: при \(45^\circ\) он равен \(1\) (уклон 100 %), при \(60^\circ\) — уже \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), а при приближении к \(90^\circ\) становится сколь угодно большим. Поэтому у почти вертикальной прямой угловой коэффициент огромен, а у вертикальной его нет совсем.
Как решать задачи
- Приведите уравнение к виду \(y = kx + d\), если оно записано иначе (например, \(ax + by + c = 0\) — выразите \(y\)).
- Угол по уравнению: \(\operatorname{tg} \alpha = k\). При \(k > 0\) ищите острый угол по таблице (\(1\) — \(45^\circ\), \(\sqrt{3}\) — \(60^\circ\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) — \(30^\circ\)). При \(k < 0\) найдите острый угол \(\beta\) с \(\operatorname{tg} \beta = |k|\), ответ \(\alpha = 180^\circ - \beta\).
- Уравнение по углу и точке: \(k = \operatorname{tg} \alpha\), затем подставьте координаты точки в \(y = kx + d\) и найдите \(d\).
- Угол между прямой и осью измеряется от положительного направления оси \(Ox\) против часовой стрелки и лежит в промежутке от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) — отрицательных углов наклона не бывает.
Разобранные примеры
Угловой коэффициент по углу
Прямая образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(150^\circ\). Найдите её угловой коэффициент.
\(k = \operatorname{tg} 150^\circ\). По формулам приведения \(\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(k = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Уравнение по углу и точке
Напишите уравнение прямой, проходящей через точку \(P(-1; 4)\) под углом \(135^\circ\) к положительному направлению оси \(Ox\).
- \(P(-1; 4)\)
- \(\alpha = 135^\circ\)
- уравнение прямой
\(k = \operatorname{tg} 135^\circ = -1\), поэтому уравнение имеет вид \(y = -x + d\). Подставим \(P\), получим \(4 = 1 + d\), откуда \(d = 3\).
Проверка: при \(x = -1\) получаем \(y = 1 + 3 = 4\) — верно.
Угол наклона по двум точкам
Прямая проходит через точки \(A(2; 5)\) и \(B(5; 2)\). Найдите угол её наклона к положительному направлению оси \(Ox\) и точку пересечения с осью \(Ox\).
- \(A(2; 5)\)
- \(B(5; 2)\)
- угол \(\alpha\) и точку пересечения с \(Ox\)
\(k = \dfrac{2 - 5}{5 - 2} = -1\). Тангенс отрицателен — угол тупой; острый угол с тангенсом \(1\) равен \(45^\circ\), поэтому \(\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).
Уравнение \(y = -x + d\), через \(A\) получаем \(5 = -2 + d\), \(d = 7\). При \(y = 0\) имеем \(x = 7\).
Типичные ошибки
Для прямой \(y = 3 - x\) говорят «\(k = 3\)», потому что число стоит первым. Но угловой коэффициент — множитель при \(x\), где бы он ни стоял.
Перепишите уравнение как \(y = -x + 3\): здесь \(k = -1\), \(d = 3\), угол наклона \(135^\circ\).
При \(k = -1\) пишут «\(\alpha = -45^\circ\)». Угол наклона прямой к оси \(Ox\) по определению лежит от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), отрицательным он не бывает.
Отрицательный \(k\) означает тупой угол. Найдите острый угол по \(|k|\) и вычтите его из \(180^\circ\): при \(k = -1\) угол \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).
Для прямой \(x = 4\) пытаются написать \(y = kx + d\) и получить какое-то \(k\). Но эту прямую нельзя записать в таком виде: \(\operatorname{tg} 90^\circ\) не определён.
Прямая, параллельная оси \(Oy\), наклонена под углом \(90^\circ\), углового коэффициента у неё нет.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равен угловой коэффициент прямой \(y = -2x + 3\)?
Показать ответ
Ответ: В) −2
В уравнении \(y = kx + d\) угловой коэффициент — множитель при \(x\), здесь \(k = -2\).
-
Под каким углом (в градусах) прямая \(y = x + 5\) наклонена к положительному направлению оси \(Ox\)?
Показать ответ
Ответ: 45
\(k = 1 = \operatorname{tg} 45^\circ\).
-
Какие прямые образуют с положительным направлением оси \(Ox\) тупой угол?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(y = -x + 1\); В) \(y = -0{,}5x - 3\)
Угол тупой, когда тангенс отрицателен, то есть \(k < 0\). У прямой \(y = 4\) угловой коэффициент \(0\) — она параллельна оси \(Ox\).
-
Каков угловой коэффициент прямой, параллельной оси \(Ox\)?
Показать ответ
Ответ: А) 0
Угол наклона равен \(0^\circ\), \(\operatorname{tg} 0^\circ = 0\); уравнение такой прямой \(y = d\).
-
Прямая наклонена к оси \(Ox\) под углом \(30^\circ\). Чему равен её угловой коэффициент?
Показать ответ
Ответ: В) √3/3
\(k = \operatorname{tg} 30^\circ = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите угол наклона прямой \(y = \sqrt{3}x + 7\) к положительному направлению оси \(Ox\).
Подсказка
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона.
Решение
\(k = \sqrt{3} = \operatorname{tg} \alpha\). Так как \(\operatorname{tg} 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}\), угол \(\alpha = 60^\circ\).
Ответ
Прямая образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(135^\circ\). Найдите её угловой коэффициент.
Подсказка
\(k = \operatorname{tg} 135^\circ\); воспользуйтесь формулами приведения.
Решение
\(\sin 135^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому \(k = \operatorname{tg} 135^\circ = -1\).
Ответ
Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку \(P(2; 3)\) и наклонена к оси \(Ox\) под углом \(45^\circ\).
Подсказка
Найдите \(k\) по углу, а \(d\) — подставив координаты точки.
Решение
\(k = \operatorname{tg} 45^\circ = 1\), уравнение \(y = x + d\). Подставим \(P(2; 3)\), получим \(3 = 2 + d\), \(d = 1\). Ответ \(y = x + 1\).
Ответ
Найдите угол наклона прямой \(2x + 2y - 5 = 0\) к положительному направлению оси \(Ox\).
Подсказка
Сначала выразите \(y\) через \(x\).
Решение
\(2y = -2x + 5\), \(y = -x + 2{,}5\). Угловой коэффициент \(k = -1 = \operatorname{tg} \alpha\), угол тупой, \(\alpha = 135^\circ\).
Ответ
Найдите острый угол между прямыми \(y = \sqrt{3}x + 1\) и \(y = x - 2\).
Подсказка
Найдите углы наклона обеих прямых к оси \(Ox\).
Решение
Первая прямая наклонена под углом \(60^\circ\) (\(\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}\)), вторая — под углом \(45^\circ\) (\(\operatorname{tg} \beta = 1\)). Обе пересекают ось \(Ox\), и в треугольнике, образованном прямыми и осью, угол между прямыми равен разности \(60^\circ - 45^\circ = 15^\circ\) (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним).
Ответ
Прямая проходит через точку \(A(0; 2)\) и образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(120^\circ\). Найдите точку её пересечения с осью \(Ox\).
Подсказка
\(\operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3}\), а точка \(A\) лежит на оси \(Oy\), значит, \(d = 2\).
Решение
\(k = \operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3}\), \(d = 2\), уравнение \(y = -\sqrt{3}x + 2\). При \(y = 0\) получаем \(x = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Положите линейку на клетчатый лист наклонно и посчитайте: на сколько клеток она поднимается, если сдвинуться на одну клетку вправо. Это и есть угловой коэффициент. Если на клетку вправо — клетка вверх, \(k = 1\), угол \(45^\circ\). Если линейка идёт вниз, \(k\) отрицательный, а угол с осью — тупой. Вопросы для проверки понимания: 1) Какая из прямых \(y = 5x\) и \(y = 0{,}5x\) круче? 2) Почему прямые \(y = 2x + 1\) и \(y = 2x - 7\) параллельны? 3) Каков угол наклона прямой \(y = -x\)? На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно выделять \(k\) из уравнения, записанного в любом порядке, и понимать, что отрицательный \(k\) — это тупой угол, а не «минус сколько-то градусов».