Задача 1
Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AB = a\), \(AD = b\), \(\angle A = \alpha\). Доказать: \(S_{ABCD} = ab \sin \alpha\).
-
Диагональ \(BD\) делит параллелограмм на треугольники \(ABD\) и \(CDB\). Они равны по трём сторонам: \(AB = CD\), \(AD = CB\) (противоположные стороны параллелограмма), \(BD\) — общая. Значит, их площади равны и \(S_{ABCD} = 2S_{ABD}\).
-
По теореме о площади треугольника \(S_{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin A = \dfrac{1}{2} ab \sin \alpha\).
-
Следовательно, \(S_{ABCD} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} ab \sin \alpha = ab \sin \alpha\).
Если взять другой угол параллелограмма, он равен \(180^\circ - \alpha\), а \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), так что формула верна для любой пары смежных сторон.
Ответ
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, площадь каждого — половина произведения сторон на синус угла.
Подробнее — в теме «Теорема о площади треугольника».